Resolver la ecuación para x, y y z: $\sqrt{x-y+z}=\sqrt x - \sqrt y + \sqrt z$

Question

Estoy teniendo algunos problemas con este problema,

Resolver para$x,y,$$z$. $$\sqrt{x-y+z}=\sqrt x - \sqrt y + \sqrt z$$

Aquí está mi obra hasta el momento,

$$x - y +z = x+y+z-2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xz}- 2\sqrt{zy}$$ $$2y-2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xz}- 2\sqrt{zy} = 0 $$ $$2(y-\sqrt{xy} + \sqrt{xz} - \sqrt{zy}) = 0 $$ $$y-\sqrt{xy} + \sqrt{xz} - \sqrt{zy} = 0$$

Answer 1

Su última ecuación puede ser escrita como

$$ \sqrt{zx} = \sqrt{y} \left[ \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z} \right] = \sqrt{y} \sqrt{ x-y+z} $$

El cuadrado ambos lados nos da

$$ zx = xy - y^2 + zy $$

Que se simplifica a $$(y-x)(y-z) = 0 $$

Por lo tanto, requerimos $x=y$ o $y=z$. Es claro que, en cualquier caso, la ecuación se satisface.

Answer 2

Incluso más fácil, su última ecuación puede ser escrita como: $$ -\sqrt{y}\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) + \sqrt{z}\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) = 0 $$ o $$ \left(\sqrt{z} - \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) = 0 $$

Que a su vez le da a la misma conclusión, como Calvino señaló