Si una superficie, M, ha $\pi_1(M)=\mathbb{Z}\ast…\ast \mathbb{Z}$, es M un finitely perforado superficie cerrada?

Question

Deje $M$ ser conectado topológico 2-colector. I. e. un espacio de Hausdorff localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^2$. Supongamos $\pi_1(M)$ es un finitely libres generados por el grupo. Debe $M$ ser homeomórficos a una superficie cerrada con un número finito de pinchazos?

Yo no creo que importe, pero yo en realidad sólo se preocupan por orientable $M$.

Esto está inspirado por la respuesta a esta pregunta: ¿Pueden dos diferentes espacios topológicos cubrir cada uno de los otros?

Answer 1

Sí. Una superficie abierta es un finitely perfora la superficie o uno tiene infinitamente generado homología de grupos. Una luz muy boceto es escoger un agotamiento por la compactos conectado submanifolds; en cada etapa están ustedes pegado en los cilindros, coronando límite de los componentes con los discos (o en el nonorientable caso bandas de Möbius), o aumentando el género. Si su homología es finitely generado, entonces, su género es finito, por lo que finalmente sólo añadas en pinchada esferas o coronando componentes; a continuación, muestran que la adición de perforado esferas sin tapado cosa que aumenta el rango de la homología, la delimitación de la serie de extremos que se pueden tener.

De una manera más precisa argumento en el caso de $\pi_1 = 0$ es dado aquí. Usted puede modificar el argumento para el caso de finitely generado por $H_1(\Sigma;\Bbb Z/2)$.

Hay una clasificación de las superficies abiertas siguientes ideas similares: se clasifican por su género, si son o no son orientables, y algunos datos acerca de cómo, precisamente, son noncompact: su espacio de extremos, su espacio de la no-orientable extremos, y su espacio de termina con el género. Si el grupo fundamental es finitely generado, no puede tener cualquier no-orientable finaliza o termina con el género; estos contribuyen infinitamente generado sumando a la primera de homología. (Por eso es bueno trabajar con homología en lugar de grupos fundamentales: Tener una infinitamente generado subgrupo está bien, pero no si usted está abelian!)

En este punto, sabemos que nuestra superficie es de finito de género, pero todavía podría haber complicado el espacio de los extremos (cada extremo género cero). Cada final contribuye a la homología: un colector con al menos $n$ extremos tiene una homología de rango, al menos,$n-1$. Así que es mejor tener un número finito. Por lo tanto, usted es un finitely perforado superficie cerrada.