Bloque inversa de matrices simétricas

Question

Supongamos que tenemos una simétrica $n \times n$ matriz $A$. Sabemos que la inversa de a $A$. Digamos que estamos ahora agregar una columna y una fila de a $A$, de manera que la matriz resultante ( $B$ ) $(n+1) \times (n+1)$ matriz que todavía es simétrica.

Por ejemplo,

$A = \begin{pmatrix}a & b \\b & d \\\end{pmatrix}$

y

$B = \begin{pmatrix}a & b & X \\b & d & Y \\X & Y & Z\end{pmatrix}$

Dado que sé que $A^{-1}$, hay alguna forma de utilizar esta información para encontrar $B^{-1}$ sin tener que calcular este último inversa a partir de cero? Si una solución exacta no es posible, aproximaciones también sería de ayuda.

Gracias,
Bruno

P. S. en caso de que no hace ninguna diferencia, tanto en $A$ $B$ son matrices de covarianza.

Answer 1

Ciertamente, uno puede usar el que bordean método para esto (un caso especial de la fórmula habitual para el bloque de la inversión):

$$\begin{pmatrix}\mathbf A&\mathbf \delta\\\mathbf \delta^\top&Z\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\mathbf A^{-1}+\frac{\mathbf A^{-1}\mathbf \delta\mathbf \delta^\top\mathbf A^{-1}}{\mu}&-\frac{\mathbf A^{-1}\mathbf \delta}{\mu}\\-\frac{\mathbf \delta^\top\mathbf A^{-1}}{\mu}&\frac1{\mu}\end{pmatrix}$$

donde$\mathbf \delta^\top=(X\quad Y)$$\mu=Z-\mathbf \delta^\top\mathbf A^{-1}\mathbf \delta$.