¿Significa "secuencia monótona" siempre "una secuencia de números reales"

Question

Cuando decimos que una secuencia es monótona, ¿implica eso que la secuencia es Real ¿Secuencia numérica? ¿Y otras proposiciones sobre monotonía, todas de valor real?

Cuando veo algunos libros de análisis matemático, a veces hablan de algunas propiedades/hechos como la convergencia de secuencias en un espacio métrico, por ejemplo, campo real y campo complejo, a veces los resultados son los mismos.

Sin embargo, cuando veo que algunas proposiciones sobre "monotonía" están limitadas dentro de los números reales.

¿Tal vez escriban para simplificar el teorema?

Por ejemplo:

Definición: Una secuencia $s_n$ de números reales se dice que es monotónicamente creciente si $s_n\leq s_{n+1}$ .

Las secuencias complejas también pueden tener algo de monotonicidad?

El hecho básico que conozco es que no podemos comparar dos números complejos, tal vez deberíamos utilizar la relación parcial? norma del número complejo (este es un número real)? orden del diccionario?

Answer 1

Para hablar de monotonicidad hay que tener una noción de orden. Siempre que el conjunto de objetos de los que se consideran las secuencias esté ordenado de forma razonable, se puede hablar de monotonicidad. Es habitual considerar conjuntos parcialmente ordenados, o simplemente posets. Un poset es un par $(S,\le )$ donde $S$ es un conjunto (que puede ser cualquier conjunto) y $\le $ es una relación transitiva, reflexiva y antisimétrica sobre $S$ . En el contexto de los posets, es decir, para las secuencias de elementos de un poset, la monotonicidad tiene mucho sentido.

Los números reales se ordenan según el significado habitual de $x\le y$ . Sin embargo, los números complejos no están ordenados de ninguna manera natural útil, por lo que no hablamos de secuencias monótonas de números complejos. Un ejemplo de poset útil en el contexto del análisis es el poset de, por ejemplo, todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ . Este poset está ordenado por $f\le g$ precisamente cuando $f(x)\le g(x)$ para todos $x\in \mathbb R$ . Entonces se puede hablar de secuencias monótonas de funciones.

Answer 2

A petición del OP, he reunido en esta respuesta mis comentarios sobre la ordenación de los números complejos. Esta respuesta da básicamente dos ordenaciones diferentes de los números complejos, y se pregunta qué es lo mejor que podemos hacer para ordenar $\mathbb{C}$ . Estos ordenamientos hacen que podamos hablar de secuencias monótonas en $\mathbb{C}$ .

Pedir 1: Normas. Una norma es una función que asigna a los elementos de un anillo un número real, $N: R\rightarrow\mathbb{R}$ , de tal manera que $N(a\cdot b)=N(a)\cdot N(b)$ . Esto se puede convertir en una ordenación diciendo $a \preceq b\Leftrightarrow N(a)\leq N(b)$ . Para los números complejos, podemos definir $N(x+iy):=x^2+y^2$ . Nótese que no se trata de un orden total estricto como, por ejemplo, $N(1)=N(-1)$ y, de hecho, esto no conserva el orden habitual de los números reales. Nótese también que, en general, $N(a+b)\neq N(a)+N(b)$ .

Pedido 2: ordenación lexicográfica. Definir $x_1+iy_1 \preceq x_2+iy_2$ si y sólo si $x_1\leq x_2$ o ( $x_1=x_2$ y $y_1\leq y_2$ ). Tenga en cuenta que este es un orden total estricto que preserva la adición y el orden habitual de los números reales. Sin embargo, no no preservar la multiplicación.

A continuación, tenemos una pregunta: ¿Podemos dar $\mathbb{C}$ una ordenación total que sea compatible con las operaciones del campo? Pues no, resulta que no podemos . Esto significa que la suma o la multiplicación deben fallar. Está claro que la ordenación 2 es lo mejor que podemos hacer para la suma: Preserva la suma así como el orden subyacente de los números reales. La ordenación 1 no es tan buena para la multiplicación. Por lo tanto, tenemos la siguiente pregunta,

Pregunta: ¿Existe una ordenación total del campo de los números complejos que preserve la multiplicación y la ordenación subyacente de los números reales?

Answer 3

Una secuencia monótona $(x_n)$ es una secuencia para la cual $\exists n_0$ tal que $\forall n \ge n_0$ tenemos que, o bien $x_n \ge x_{n+1}$ o $x_n \le x_{n+1}$ .

Por lo general, del contexto debería desprenderse si la secuencia es de valor real o no. Una secuencia de valor real se suele denominar $(x_n)_{n=1}^\infty$ mientras que las secuencias formadas por números naturales se suelen denotar $(n_k)_{k=1}^\infty$ .

Pero esto es sólo una convención; no garantiza nada. Siempre hay que tener en cuenta el contexto del problema.