¿Es necesario el álgebra abstracta para comprender a fondo el análisis real?

Question

Información de fondo : Llevo unas semanas estudiando (de forma autodidacta) Análisis Real, y con la ayuda de la gente de aquí he llegado, cómodamente, a 3/4 del primer capítulo sobre Números Reales. Sin embargo, ayer me encontré con un pequeño bloqueo mental cuando el libro comenzó a cubrir Espacios interiores del producto . Empiezo a preguntarme si debería retrasar mis estudios de Análisis Real para trabajar primero en Álgebra Abstracta.

Mis preguntas ¿Es necesario el Álgebra Abstracta para comprender a fondo el Análisis Real? Además, he enumerado mi formación matemática a continuación, ¿me falta algo más que pueda necesitar para el Análisis Real? En última instancia, ¿debería continuar mis estudios en Análisis Real, a pesar de algunas de mis deficiencias en matemáticas y tratar de recoger cosas en el camino?

Mi formación matemática : Calc 1, Calc 2, Cal 3, Álgebra Lineal, Matemáticas Discretas (Lógica Matemática), Teoría de Números Elemental, Estadística, Econometría, y todos los prerrequisitos para las clases anteriores. Mis clases favoritas eran las de Matemáticas Discretas y Teoría de Números, porque disfrutaba leyendo y escribiendo pruebas.

Me fue bien en Álgebra Lineal, al menos computacionalmente bien, pero nunca entendí realmente la noción de espacio vectorial . Sentí que al usar sólo $\mathbb R ^m$ espacios no he podido entender bien lo que es un espacio vectorial, necesito verlo en un marco más abstracto. Además, he cogido Geometría en el camino nunca he tenido un curso formal de Geometría.

Answer 1

Esta pregunta ha sido respondida en los comentarios:

Debería sentirse más cómodo con el álgebra lineal. El resto del álgebra abstracta es menos necesario. - Qiaochu Yuan Jul 19 '13 at 9:56

y

Algunos textos de Álgebra Lineal: Anton; Strang; Noble & Daniel. - Gerry Myerson Jul 19 '13 at 10:06

Answer 2

Una observación demasiado larga para que quepa en un comentario: las etiquetas de los cursos típicos, como "análisis" y "álgebra abstracta", no son útiles desde el punto de vista científico, porque los fenómenos matemáticos no se separan realmente según estas etiquetas. Sí, podemos componer cursos que fingir para comportarse de acuerdo con una idea de "separación"... ya que podemos pretender lo que queramos. :)

Así que, aunque no necesitas muy mucha álgebra abstracta para entender el "análisis" básico, tener algo de vocabulario es muy útil, seguro. Pero/y, de nuevo, no es que uno deba aprender una cosa y luego otra, sino que, más bien, todas estas cosas deben estudiarse simultáneamente.