Función "menos trivial" que preserva la racionalidad

Question

¿Existe una función "no trivial" $f(x,y)$ tal que

$$f(x,y) \in \mathbb{Q} \iff x,y\in \mathbb{Q}?$$

Un ejemplo de función "trivial" sería

$$f(x,y) = \begin{cases} 0 & x,y\in \mathbb{Q}\\ \pi & \text{otherwise} \end{cases}$$ o cualquier otro $f$ que utiliza efectivamente una función de casos.

La motivación es sólo mi curiosidad. Obviamente, las operaciones que preservan un sentido de la $\iff$ son abundantes y están bien estudiados. Me preguntaba cómo de onerosa es la condición de la dirección adicional en la elección de $f$ . Esta pregunta en mathoverflow parece estar relacionada.

Answer 1

Quizás un ejemplo algo menos trivial sería la función $f$ que intercala los dígitos decimales de $x$ y $y$ es decir, si \begin{align} x&=0.x_1x_2x_3\dots \\ y&=0.y_1y_2y_3\dots \end{align} son expansiones decimales de $x$ y $y$ entonces $$ f(x,y)=0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\dots $$

Puede hacer que esta definición sea inequívoca decidiendo tomar siempre (o nunca) expansiones decimales finitas cuando estén disponibles.

Entonces $f(x,y)$ tiene una expansión decimal repetida si y sólo si tanto $x$ y $y$ lo hace, y así satisface su condición.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante.

La respuesta dependerá de cómo se definan las funciones. Me inclino por decir que la respuesta es "no", porque los irracionales pueden hacerse se anulen para dar un racional.

Sin embargo, si se pueden utilizar procesos limitantes, quizás una función que utilice el hecho de que los los racionales no pueden ser bien aproximados por racionales (error de aproximación por $a/b$ en el mejor de los casos $\Omega(1/b)$ ) y los irracionales pueden (error de aproximación por $a/b$ en el peor de los casos $O(1/b^2)$ ) podría construirse.

Answer 3

Creo que la función f debe entenderse como de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ así que elijo