Se suponía que esta iba a ser una pregunta larga pero algo salió mal y todo lo que escribí se perdió. Aquí va.
¿Por qué es $k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}$ en Ley de Coulomb ?
¿Es un hecho experimental?
Si no es así, ¿cuál es el significado de esta definición?
Definir el símbolo $k$ en la ley de Coulomb, $$F=k\frac{q_1q_2}{r^2},$$ para ser $k=1/4\pi\epsilon_0$ está perfectamente permitido cuando uno lo entiende simplemente como un definición de $\epsilon_0$ . La motivación de esta definición es que cuando se calculan las fuerzas entre dos placas de área opuesta $A$ y cobrar $Q$ a distancia $d$ aparte, salen como $F=\frac{2\pi kQ^2}{d}=\frac{Q^2}{2\epsilon_0 d}$ donde el factor de $4\pi$ proviene de la aplicación juiciosa de la ley de Gauss.
Cuando se desarrolla esto en una teoría de la capacitancia, se encuentra que implica que el voltaje entre las placas es $V=Q/C$ , donde $C=\epsilon_0 A/d$ . Además, si se quiere insertar un dieléctrico entre las placas (como se hace a menudo), entonces la capacitancia cambia a $$C=\epsilon A/d$$ donde $\epsilon$ se conoce como la permitividad eléctrica del dieléctrico. $\epsilon_0$ se entiende entonces de forma natural como "la permitividad del espacio libre" (que, por supuesto, simplemente define lo que entendemos por permitividad).
La pregunta es entonces, por supuesto, por qué es esta unidad "derivada", $\epsilon_0$ , tratada como más "fundamental" que la original $k$ ? La respuesta es que no, ya que son equivalentes, pero la permitividad del espacio libre es mucho más fácil de medir (y ciertamente lo era a finales del siglo XIX y principios del XX, cuando la investigación eléctrica estaba muy orientada a las tecnologías basadas en los circuitos), por lo que salió ganando, y ¿por qué tener dos símbolos para cantidades equivalentes?
La unidad del segundo se define como la duración de un cierto número de periodos de radiación emitidos por un tipo particular de transición de electrones entre niveles de energía en un isotipo de Cesio (ver aquí ).
Es una suposición de que la luz viaja a una velocidad constante $c$ independiente del marco de referencia de cada uno, así que ahora que hemos fijado una unidad de tiempo, podemos definir una unidad de longitud: el metro es la distancia que recorre la luz en $1/299792548\, \mathrm{s}$ .
También definimos la unidad de corriente del SI (el amperio) para que el permeabilidad del espacio libre toma un valor deseado en unidades del SI ( $4\pi \times 10^{-7}$ ).
Podemos entonces definir $$ \varepsilon _0=\frac{1}{\mu _0c^2} $$ así como $$ k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}. $$
Ahora, ten en cuenta que no tienen que fijar un sistema de unidades para hacerlo (como hice antes). Como lo anterior es definiciones se mantendrán en cualquier sistema de unidades. Sin embargo, para ver que estas definiciones no terminan siendo circulares, ayuda ver que podemos definir $\mu _0$ y $c$ en términos de fenómenos puramente físicos. En otras palabras, para que las definiciones anteriores tuvieran sentido, teníamos que saber que podíamos definir $c$ y $\mu _0$ independiente de $\varepsilon _0$ y $k$ primero. La definición anterior de las unidades del SI le ayuda a ver que esto se puede hacer.
Si la pregunta es por qué el " $4\pi$ " en la constante de Coulomb (k= $\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$ ), entonces una pregunta igualmente válida podría ser por qué el "4 $\pi$ " en la permeabilidad magnética del vacío, $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$ ?
Quizás se pueda encontrar una pista en la ecuación de Maxwell para la velocidad de la onda electromagnética (luz) en el vacío, $c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}$ .
Por supuesto, Maxwell derivó esta relación mucho más tarde que Coulomb.
Maxwell relaciona la permitividad eléctrica con la permeabilidad magnética en el vacío, $\mu_{0}=\frac{1}{\epsilon_{0}c^{2}}$ al que se le da un valor de $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$ en unidades del SI.
La "razón" para el " $4\pi$ " que aparece aquí y en la constante de Coulomb (lo creas o no) para que las ecuaciones de Maxwell se puedan escribir sin $4\pi$ ¡factores'!
Para entenderlo, considere cómo los fenómenos electrostáticos se expresan en la ley de Coulombs como "intensidad de campo a una distancia al cuadrado", en comparación con (la equivalente) ley de Gauss, que describe el "flujo a través de una superficie cerrada que encierra la carga".
El flujo total es la densidad de flujo multiplicada por la superficie, que para una esfera de radio $r$ viene dada por $S=4\pi r^{2}$ por lo que la relación $S/r^{2}$ = $4\pi$ es simplemente el resultado de la geometría del espacio y la simetría esférica.
Se dice que el sistema de unidades del SI (a diferencia de las unidades de Gauss) está "racionalizado" porque permite la expresión de las ecuaciones de Maxwell sin el $4\pi$ factores. Para ello, el $4\pi$ simplemente se ha "incorporado" a la definición (en unidades del SI) de la constante universal de permeabilidad del vacío, $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$ , a partir de la cual podemos expresar la constante de Coulomb como k= $\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$ .
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