El formalismo en la integración

Question

Digamos que tenemos algunos $y(t)$. La derivada de $y$ a lo largo del eje de tiempo se $y'(t)=\frac{dy(t)}{dt}=\frac{dy}{dt}$. Así que voy a integrar como este a lo largo del tiempo:

$\require{cancel}$ $\int_{t=0}^{+\infty}\frac{dy}{\cancel{d\tau}}\cancel{d\tau} = \int_{t=0}^{+\infty}dy=y|_{t=0}^{+\infty}=y(\infty)-y(0)$ , (desde $y = y(t)$)

Aunque el resultado sea correcta, es este procedimiento correcto de acuerdo al formalismo? En otras palabras:

• puedo cancelar los diferenciales? El pensamiento de intervalo que tiene sentido para mí.
• puede la integral de la variable de ser diferente de la diferencial (segundo paso)? He casi nunca se ve la integración de la variable de forma explícita se muestra como puse ahí.
• He resuelto la integral en el tercer paso, como mi variable $y$, incluso a pesar de que en realidad era $\tau$. Que se puede hacer?

Answer 1

Elegimos la fracción-en busca de la notación para los derivados debido a que muchos "aparente de leyes", como la de esta cancelación, realmente tenía. Pero la nota en sí no es una prueba de ello.

Esta pregunta es una pregunta acerca de lo que muchos llaman el "u-substition" en el disfraz. u-sustitución es una parte integral de la declaración de la regla de la cadena para la diferenciación, y esta es la razón por la que usted puede "cancelar la $\mathrm{d}\tau$ términos." Para una prueba de que esto funciona, es posible buscar las pruebas de la u-substition. Sucede que tengo escrita una prueba en otra respuesta, y esa respuesta la igualdad que desea es de color rojo (lo que sugiere que esta es una fuente común de confusión).

Los límites de integración son tratados exactamente como te han tratado.

Cuando te preguntan acerca de la integración con respecto a $y$ "a pesar de que en realidad era $\tau$," que son, de hecho, la integración en contra de $y$. Esta es la misma pregunta que tu primera pregunta, y la prueba está también contenida en la otra respuesta.

En general, tenemos que

$$ \int_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\mathrm{d}y,$$

por lo suficientemente bonita $f,g$.

Answer 2

Puesto que usted está preguntando acerca de ser formal, muchos insisten en el uso de límites a la hora de hacer una integral impropia:

$$ \int_a^\infty y(t) \; dt = \lim_{K \to \infty}\int_{a}^K y(t)\; dt. $$ Tenga en cuenta que $y(\infty)$ no (formalmente) tienen sentido a menos que tenga una función en la que el $\infty$ es un elemento en el dominio.

También me gustaría decir que al escribir: $$ \frac{dy}{\cancelar{d\tau}}\cancelar{d\tau}$$ usted está implícitamente diciendo que la derivada es una fracción y muchos, objeto de la presente (en particular en una base de clase de cálculo). Yo, por el camino, asumir que $\tau$ es lo mismo que $t$ en su ejemplo. De lo contrario, hay algo que no entiendo.

Answer 3

El problema más importante de su trabajo es que el desafortunado convenio para el uso de $y$ tanto como una variable, y también para la función relativa $y$$t$.

Voy a presentar la carta de $f$ para esa función; es decir, $y$ está relacionado con $t$ por la ecuación de $y = f(t)$.

Usted no puede cancelar las diferencias en el sentido de combinar todo en una sola fracción de la cancelación de los términos de el numerador y el denominador. Sin embargo, es cierto (en una sola variable de cálculo) que

$$ \frac{dy}{dx} \, dx = dy \qquad \qquad \frac{dy}{dx} \frac{dz}{dw} = \frac{dy}{dw} \frac{dz}{dx} $$

así que usted puede hacer las cosas que se parecen mucho a lo que puede hacer con fracciones, incluso si usted no puede tratarlos como el hecho de ser fracciones.

En multivariable de cálculo, para la mayoría de los pares de las diferencias, no se puede escribir como un múltiplo de la otra, por lo que los ratios como $\frac{dy}{dx}$ son carentes de sentido, a menos que por casualidad usted conoce $y$ $x$ están relacionados por una función derivable. Parcial de los derivados, por ejemplo,$\frac{\partial y}{\partial x}$, tiene un montón de problemas más sutiles y no debe ser tratado como ratios en todos.

Cuando usted está usando la notación que involucran variables como $y$, en lugar de uno con funciones como $f$, las integrales son a menudo mejor pensamiento como la integración de más de un camino , más que entre dos números. No se suele presentó de esa manera, sin embargo, ya que esto podría hacer que las definiciones de algo más complicado.

En un extremo de la ruta, ha $t=0$$y = f(0)$, y en el otro extremo, usted tiene $t=+\infty$$y = f(+\infty)$. Realmente no importa que la letra de utilizar en una expresión como 'variable' para la ruta integral, desde la ruta de acceso 'recuerda' lo que todas las variables deben ser. Pero, por supuesto, si usted no usa la notación recuerda que usted está pensando en una ruta, puede meterse en problemas. (por ejemplo, usted podría olvidarse fácilmente a la mitad y creo que has escrito los números que son los valores de la variable que se está utilizando actualmente)

Finalmente, usted debe tener cuidado de recordar que este es un inadecuado integral: lo que realmente debe ser calculada como un límite apropiado de las integrales. No estoy seguro de si alguna de las ideas que he descrito aquí a ejecutar en problemas cuando intenta utilizar en una integral impropia.