Demuestre que la función lineal $L(f) = \int_0^1 f(x) dx$ es continua

Question

Sea $(C[0,1], d_1)$ sea un espacio métrico de todas las funciones continuas $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ , $d_1$ es el $L_1$ métrico $$d_1(f,g) = \int\limits_0^1 |f(x) - g(x)| dx$$

Demuestre que la función lineal $L(f) = \int\limits_0^1 f(x) dx$ i continua

No estoy seguro de cuál sería la manera más fácil de probar esta afirmación, siento que estoy en el camino correcto

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Intento de prueba:

• Recall $L$ es continua si para toda sucesión convergente $(f_n), f_n \to f$ como $n \to \infty \implies L(f_n) \to L(f)$ como $n \to \infty$

  Sea $(f_n)$ sea una sucesión convergente en $(C[0,1], d_1)$ deseamos demostrar que $L(f_n) \to L(f)$ como $n \to \infty$

• $f_n \to f$ si $\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}$ como que $\forall x \in [0,1], \forall n \geq N, d_1(f_n(x), f(x)) < \epsilon$

  Por definición, $d_1(f_n(x), f(x)) < \epsilon \implies \int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx < \epsilon$

• Si $L(f_n) \to L(f)$ como $n \to \infty$ entonces $|L(f_n) - L(f)| = |\int\limits_0^1 f_n(x) - f(x) dx| < \epsilon$

• Pero $|\int\limits_0^1 f_n(x) - f(x) dx| \leq \int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx $ por desigualdad triangular, y $\int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx < \epsilon$

• Por lo tanto, $L(f_n) \to L(f)$ como $n \to \infty$

¿Le parece correcto?

Answer 1

Su prueba es correcta. Una manera más fácil de probar la afirmación es notar que $d_1$ es la métrica inducida por la norma:

$$\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|dt$$

Tenga en cuenta que $L:(C([0,1]), d_1) \to \Bbb R$ es continua si $L: (C([0,1]), \| \cdot \|_1) \to \Bbb R$ es continua.

Por lo tanto, para demostrar $L$ es continua, basta con encontrar una constante $C$ tal que $|Lf| \le C \|f\|_1$ para todos $f \in C([0,1])$ . Pero esto es obvio:

$$\left| L(f) \right| \le \int_0^1 |f(t)|dt = \|f\|_1$$

Answer 2

Tu prueba parece correcta. Sin embargo, en el penúltimo punto,

Pero $|\int\limits_0^1 f_n(x) - f(x) dx| \leq \int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx$ por la desigualdad del triángulo, y $\int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx < \epsilon$ .

Aunque esto es en cierto modo una generalización integral de la desigualdad del triángulo, la mayoría no diría que es así. Yo omitiría mencionar la desigualdad del triángulo y diría simplemente

Pero $|\int\limits_0^1 f_n(x) - f(x) dx| \leq \int\limits_0^1 |f_n(x) - f(x)| dx<\epsilon$ .

Answer 3

Apliquemos el siguiente resultado:

Teorema Para el operador lineal $T: X \rightarrow X$ las siguientes propiedades son equivalentes:

(1): $T$ está limitada

(2): $T$ es continua

(3): $T$ es continua en cero

Así que para demostrar que $L(f) = \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ es un operador lineal continuo $(C[0,1], d) \rightarrow (C(0,1), d)$ basta con comprobar que está acotada. En efecto, $$||L|| = \sup_{f: ||f|| \ \leq 1}{|L(f)|} = \sup_{f: ||f|| \leq 1}{\int_{0}^{1}{f(x)dx}} = \sup_{f: ||f|| \leq 1}{||f||}=1$$