La evaluación de $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{12}+\sqrt{16}}+\frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{20}+\sqrt{25}}=?$

Question

Es una pregunta (no hw), me encontré a unos años atrás. No podía hacer ningún progreso real. Tal vez usted puede ayudar?

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{12}+\sqrt{16}}+\frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{20}+\sqrt{25}}=?$$

Gracias.

Answer 1

El caso de raíces cúbicas es probablemente la más interesante de las raíces cuadradas; es decir, la simplificación de

$$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{12‌​}+\sqrt[3]{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{25}}. \tag{$\circ$}$$

Para evaluar esto, como sos440 hizo en los comentarios, uno observa la estructura de los denominadores son evidentes como $a^2+ab+b^2$, que aparece en la factorización de una diferencia de cubos, $b^3-a^3$. Más generalmente, este tipo de polinomio homogéneo de los resultados de la utilización de la serie geométrica de la fórmula de la razón común $b/a$, pero estoy divagando. Está claro que tenemos

$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{b~-~a}{b^3-a^3} \tag{$\bullet$}$$

como los términos individuales en $(\circ)$,$b=\sqrt[3]{k+1}$$a=\sqrt[3]{k}$$k=2,3,4$. Los denominadores todos simplemente ser $1$, y los tres términos (los numeradores) posteriormente telescopio:

$$\big(\sqrt[3]3-\sqrt[3]2\big)+\big(\sqrt[3]4-\sqrt[3]3\big)+\big(\sqrt[3]5-\sqrt[3]4\big)=\sqrt[3]5-\sqrt[3]2. \tag{$\square$}$$

Answer 2

Wolfram Alpha proporciona la forma alternativa

$$\frac{25725}{42883}-\frac{2 \sqrt3}{37}-\frac{2 \sqrt5}{61}-\frac{\sqrt6}{19}$$

por racionalizar el denominador de cada término. Esto es aproximadamente el $$.3040294826$$

Answer 3

Para tu pregunta original, vale la pena señalar que

$$\frac{1}{\sqrt{k^2}+\sqrt{k(k+1)}+\sqrt{(k+1)^2}}=\frac{1}{2k+1+\sqrt{k(k+1)}}=\frac{2k+1-\sqrt{k(k+1)}}{4k^2+4k+1-k^2-k}=\frac{2k+1-\sqrt{k(k+1)}}{3k^2+3k+1}$$

Así

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{12}+\sqrt{16}}+\frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{20}+\sqrt{25}}=\frac{5-\sqrt{6}}{19}+\frac{7-2\sqrt{3}}{37}+\frac{9-2\sqrt{5}}{61} $$

Como no, un mucho mejor expresión es:

$$\frac{1}{\sqrt{4}+2\sqrt{6}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+2\sqrt{12}+\sqrt{16}}+\frac{1}{\sqrt{16}+2\sqrt{20}+\sqrt{25}}$$