Cuestión relacionada con la canela en una proporción de un triángulo

Question

Si en un triángulo $\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$, entonces, ¿qué son la proporción de los lados $a,b,c $?

Answer 1

Como se muestra en esta respuesta, si $A+B+C=\pi$, luego $$ \tan(A)+\tan(B)+\tan(C)=\tan(A)\tan(B)\tan(C)\etiqueta{1} $$ Supongamos $\tan(A)=x$, $(1)$ se convierte en $$ 6x=(x+2x+3x)=(x\cdot2x\cdot3x)=6x^3\etiqueta{2} $$ cuyas soluciones son a $x\in\{-1,0,1\}$. Por lo tanto, $\tan(A)=1$, $\tan(B)=2$, y $\tan(C)=3$. Por lo tanto, $$ \sin(A)=\frac1{\sqrt2},\sin(B)=\frac2{\sqrt5},\sin(C)=\frac3{\sqrt{10}}\etiqueta{3} $$ y por la Ley de los Senos, esas son las proporciones de los lados opuestos esos ángulos.

Answer 2

Deje $AD, BE, CF$ ser alturas del triángulo $ABC$. Denotar $BC=a, CA=b, AB=c$.

Observar que $$\frac 23=\frac{\tan B}{\tan C} = \frac{\frac{AD}{BD}}{\frac{AD}{DC}} = \frac{DC}{BD}$$ so $BD=\frac 35$ and $DC=\frac 25$.

Por otro lado teorema de Pitágoras dice que el $$c^2-b^2=AB^2-AC^2=(BD^2+AD^2)-(CD^2+AD^2)=BD^2-CD^2=\left(\frac 35 a\right)^2 - \left(\frac 25 a\right)^2 = \frac 15 a^2$$

De forma análoga podemos encontrar $CE=\frac 14 b$, $AE=\frac 34 b$ y $$c^2-a^2=\frac 12 b^2$$

Los resultados anteriores implican que $b^2=\frac 85 a^2$$c^2=\frac 95 a^2$. Por lo tanto $a^2:b^2:c^2=5:8:9$, lo que conduce a la respuesta: $$a:b:c=\sqrt 5 : 2\sqrt 2 : 3.$$

Answer 3

$$ sinA = \frac{a}{2R} $$ donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. Va a ser cancelada más tarde. $$ cosA = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$ Así, $$ tanA = \frac{abc}{R(b^2+c^2-a^2)} $$ Y del mismo modo, $$ tanB = \frac{abc}{R(a^2+c^2-b^2)},tanC = \frac{abc}{R(a^2+b^2-c^2} $$ La cancelación de las $\frac{abc}{R}$ a partir de la relación, nos, $$ \frac{1}{b^2+c^2-a^2}:\frac{1}{a^2+c^2-b^2}:\frac{1}{a^2+b^2-c^2} = 1:2:3 $$ La equiparación de cada uno de estos términos para k, 2k y 3k respectivamente (de modo que la proporción 1:2:3 se mantiene), obtenemos las siguientes ecuaciones $$ b^2+c^2-a^2 = \frac{1}{k} $$ $$ a^2+c^2-b^2 = \frac{1}{2k} $$ $$ a^2+b^2-c^2 = \frac{1}{3k} $$ En la resolución de estos, obtenemos $a=\frac{\surd{5}}{2\surd{3}k}$, $ b=\frac{\surd{2}}{\surd{3}k} $ y $c=\frac{\surd{3}}{2k}$

Por lo tanto, $a:b:c = \surd{5}:2\surd{2}:3$