La asimetría entre lo real y lo imaginario en las tres matrices de espín de Pauli

Question

Las matrices de espín de Pauli $$ \sigma_1 ~=~ (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}), \qquad\qquad \sigma_2 ~=~ (\begin{smallmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{smallmatrix}), \qquad\qquad \sigma_3 ~=~ (\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}),$$

son matemáticamente simétricos en el sentido de que (como $i$ y $-i$ ) pueden intercambiarse universalmente entre sí de varias maneras sin alterar ningún resultado matemático. Sin embargo, las formas visuales de estas tres matrices son inesperadamente diversas (por ejemplo, sólo $\sigma_2$ utiliza $i$ y $-i$ ). Según tengo entendido en la historia de la física, Pauli (y también Dirac) desarrolló sus matrices por ensayo y error, más que aplicando alguna teoría específica.

¿Existe una explicación teórica más profunda de por qué estas representaciones visuales tan diferentes del giro son, sin embargo, intercambiables de múltiples maneras?

Answer 1

Una respuesta es que la mayoría de los cálculos de la física moderna no dependen realmente de la realización explícita de la Matrices de Pauli $\sigma_a$ , $a=1,2,3$ sino en las relaciones

$$ \sigma_{a}^{\dagger}~=~ \sigma_{a},\qquad\qquad {\rm tr}(\sigma_{a})~=~0,\qquad\qquad a=1,2,3, $$ $$ \sigma_a \sigma_b ~=~ \delta_{ab} {\bf 1}_{2\times 2} + i\sum_{c=1}^3\varepsilon_{abc} \sigma_c, \qquad\qquad a,b=1,2,3, $$

que tratan las tres matrices de Pauli $\sigma_a$ en un plano de manifiesta igualdad. Aquí ${\bf 1}_{2\times 2}$ es un $2\times 2$ matriz de la unidad; $\delta_{ab}$ es el Delta de Kronecker y $\varepsilon_{abc}$ es el Símbolo de Levi-Civita .

Answer 2

Como dice Qmechanic: La mayoría de los cálculos de la física moderna no dependen en realidad de la realización explícita de las matrices de Pauli . Al final las cantidades físicas dependen de las funciones bilineales como las corrientes vectoriales y axiales.

Sin embargo, es totalmente posible transformar la representación estándar de la matriz de Pauli en una representación espacialmente simétrica y de valor completamente real que produce exactamente la misma física pero es mucho más fácil de interpretar que la representación compleja asimétrica.

Esta representación utiliza matrices de valor real de 4x4 en lugar de las complejas de 2x2 y la estructura de grupo ligeramente mayor de $SO(4)\cong Spin(3)\otimes Spin(3)$ nos permite hacer la representación simétrica en las coordenadas x, y y z.

Los 4 componentes complejos del campo bispinor se convierten en 8 valores reales y la simetría espacial de la representación se hace evidente si visualizamos las relaciones lineales entre estos 8 parámetros para cada una de las matrices utilizadas, como se muestra en las imágenes siguientes. Los números rojos representan los 4 parámetros quirales derechos y los números negros representan los 4 parámetros quirales izquierdos.

Para conocer el significado detallado de todo esto puedes echar un vistazo aquí:

La representación simétrica real de la ecuación de Dirac

Aquí se ofrecen breves descripciones: Sitio web de Physics-quest y aquí: entrada del blog

Answer 3

Creo que estás describiendo un proceso que es una descripción bastante precisa de cómo los teóricos de conjuntos suelen pensar en cuestiones de consistencia, donde Set1 es el relato informal de la jerarquía acumulativa, tal y como es iluminado por nuestras otras investigaciones formales, Set2 es ZFC, y Set3 no es una, sino una familia de teorías de conjuntos más fuertes obtenidas por algo así como tu proceso de reflexión de vuelta a Set1, que llamaré Set3*.

La mayor divergencia es que los lógicos no hablan de que Set1 demuestre nada, porque no tiene ningún tipo de teoría de la prueba, que es como otros han indicado su respuesta. En cambio, Set1 "justificará" los axiomas de Set2, y "fundamentará" o "sugerirá" axiomas propuestos para Set3*.

Así que lo que saco de tu discusión sobre la aplicación de la incompletitud es (i) una indicación más de que Set1 no tiene teoría de la prueba, ya que es una fuente abundante y falible de nueva fuerza teórica de la prueba, (ii) que la jerarquía gödeliana de la fuerza teórica de la prueba debe ser una guía cuando investigamos las teorías en Set3*, y (iii) no hay realmente ninguna señal de un modelo, además de las que obtenemos de las axiomatizaciones por cortesía del teorema de completitud.

Creo que es esclarecedor contrastar la situación de la consistencia para la teoría de conjuntos con la de la aritmética, donde Gentzen dio una prueba teórica de consistencia directamente fundamentada en la intuición combinatoria. Allí, Arith1, nuestra intuición aritmética, juega un papel más directo en el apuntalamiento de Arith2, la aritmética de Peano, y donde el análisis de la jerarquía gödeliana muestra que la consistencia de la teoría es equivalente en fuerza a la verdad del principio combinatorio elemental. Desgraciadamente, no sabemos cómo construir tales principios combinatorios lo suficientemente fuertes como para demostrar la consistencia de ZFC.