Teoría de grupos - grupo Cociente notación?

Question

¿Cuál es la diferencia entre los siguientes términos:

$\mathbb{Z}_{4}$ , $\mathbb{Z}/4$ y $\mathbb{Z}/{4}\mathbb{Z}$ ?

Estoy bastante seguro de que el primero es el grupo cíclico con la adición módulo 4... pero, ¿y los otros dos? Qué significa cada término significa?

Answer 1

Todos ellos son el mismo grupo. Es casi pura de notación, pero quizás la más explícita es $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. $4\mathbb{Z}$ es "cuatro veces los números enteros" por lo $\{-4,0,4,8,12,...\}$ por lo que el cosets son

$$\{...,-4,0,-4,...\}$$ $$\{...,-3,1,5,...\}$$ $$\{...,-2,2,6,...\}$$ $$\{...,-1,3,7,...\}$$

Cuatro cosets y $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ bajo la suma. $\mathbb{Z}/4$ es más como "enteros dividido por cuatro", pero el resultado es el mismo, y $\mathbb{Z}_4$ es más como un "grupo cíclico de orden 4" pero, de nuevo, todos ellos son isomorfos.

EDIT: los Detalles. Puedo obtener los cosets mediante la selección de cada elemento de $\mathbb{Z}$ y agregarlo a el subconjunto $4\mathbb{Z}$, lo que he definido anteriormente. Así que, elige 2 y se obtiene

$$2+4\mathbb{Z}=\{...,-6,-2,0,2,6,10,...\}$$ que es el tercer coset. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ significa que "los números enteros con los cosets identificado". Así que llame a cada coset por un miembro representante - $\{0,1,2,3\}$ por ejemplo (yo también podría recoger $\{-2,-1,0,1\}$ o en cualquier otra secuencia). Bajo, además de que este es un grupo - por ejemplo, la adición de la segunda y la tercera da la vuelta:

$$1+2=\{...,-3,1,5,9,...\}+\{...,-2,2,6,10,...\}=\{...,-5,-1,3,7,...\}$$ (Yo soy la suma de cada elemento con todos los demás). Esperemos que la expresión no es demasiado confuso - el lado izquierdo es el de los elementos $1$ $2$ en el cociente grupo $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, que luego de escribir en términos de los cosets he definido anteriormente para determinar el resultado de la acción del grupo.

Answer 2

La notación $\mathbb{Z}_p$ se utiliza para la p-ádico enteros, mientras que conmutativa algebraists y algebraica de los geómetras como el uso de $\mathbb{Z}_{p}$ para los enteros localizada sobre un alojamiento ideal $p$ (Cuarto apartado). Estas son dos razones por las que el uso de $\mathbb{Z}_p$ está desaconsejado para los números enteros mod $p$.

A la hora de estudiar el anillo de la teoría, los ideales de $\mathbb{Z}$ son generados por enteros $n$ que se denotan $(n)$, así que creo que esta es la razón de las notaciones $\mathbb{Z}/(n)$$\mathbb{Z}/n$.

Por lo tanto $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ más comúnmente se refiere al grupo de los enteros mod $n$ (es decir, centrándose en la estructura aditiva), $\mathbb{Z}/(n)$ se refiere a que el anillo de enteros de mod $n$ (es decir, aditivos y multiplicativos de la estructura), y $\mathbb{Z}_n$ puede referirse a varias cosas (la correcta debe quedar claro por el contexto).