Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sea abierta y acotada con frontera suave. Para $f \in L^1(\Omega)$ , defina $$ \|D_1 f\|_M(\Omega) =\inf\left\{\liminf_{k\to\infty}\int_\Omega |\nabla f_k|\,dx \mid f_k \to f \text{ in } L^1(\Omega),\ f_k \in \text{ Lip }(\Omega)\right\}. $$ Aquí $\text{Lip}(\Omega)$ es el conjunto de funciones Lipschitz sobre $\Omega$ . Obsérvese que por el Teorema de Rademacher, para $f \in \text{Lip}(\Omega)$ , $\nabla f$ existe Lebesgue-a.e. Mi pregunta es, ¿es $\|D_1 f\|_M(\Omega)$ lo mismo que $\int_\Omega |Df|$ en general? Tengo la sensación de que la respuesta es ''no'', porque si es ''sí'', la gente probablemente usaría esto como definición de variación acotada en lugar de la definición habitual, que me parece más complicada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, esta es otra forma de introducir la norma BV, a veces llamada definición de Miranda. La gente la utiliza, pero eso no significa que se pueda olvidar la definición distributiva. No es malo tener dos o más definiciones de la misma clase. Por ejemplo, podrían generalizarse de diferentes maneras cuando nos movemos más allá de los espacios euclidianos. Esta disertación es relevante.
