Conjunto de $n \times n$ matrices complejas con traza $c$ y el rango de $1$, que están cerradas, que los cierres son suaves submanifolds?

Question

Esta es una continuación a mi anterior pregunta aquí.

Para cada una de las $c \in \mathbb{C}$, definir el conjunto$$\Sigma_c := \{A \in M_n(\mathbb{C}) : \text{Tr}(A) = c,\text{ Rank}(A) = 1\}.$$de Nuevo, tengo dos preguntas.

1. Para que $c \in \mathbb{C}$ es el conjunto $\Sigma_c$ cerrado?
2. Para que $c \in \mathbb{C}$ es el cierre de la $\overline{\Sigma_c}$ $\Sigma_c$ un suave submanifold de $M_n(\mathbb{C})$?

Answer 1

Para 1., PseudoNeo puede transformar su comentario en una respuesta.

2.

Si $c=0$, $\overline{\Sigma_c}$ es un cono y $0_n$ es un punto singular; no es un suave colector.

Si $c\not= 0$,$\overline{\Sigma_c}=\Sigma_c$. Podemos suponer que la $c=1$. $D_k=\{U;rank(U)=k\}$ es un buen colector de dimensión $r(2n-r)$. Desde $\Delta=\{U;rank(U)=1,tr(U)\not= 0\}$ está abierto en $D_1$, es una variedad de dimensión $2n-1$ y, además, un pinchazo en un cono. Considerando $f:U\in \Delta\rightarrow U/tr(U)\in \Sigma_1$, podemos deducir que $\Sigma_1$ es una variedad de dimensión $2n-2$.