Sí, se puede conseguir un resultado análogo utilizando la media muestral y la varianza, tal vez, un par leve sorpresas emergentes en el proceso.
En primer lugar, tenemos que refinar la pregunta enunciado sólo un poco, y se establecen algunos supuestos. Es importante destacar que, debe quedar claro que no podemos esperar para reemplazar la varianza de la población con el ejemplo de la varianza en el lado derecho, ya que éste último es al azar! Así, podemos enfocar nuestra atención en el equivalente a la desigualdad
$$
\mathbb P\left( X - \mathbb E X \geq t \sigma \right) \leq \frac{1}{1+t^2} \>.
$$
En caso de que no está claro que estos son equivalentes, tenga en cuenta que hemos sustituido a los $t$ $t \sigma$ en la desigualdad original sin ninguna pérdida de generalidad.
Segundo, supongamos que tenemos una muestra aleatoria de $X_1,\ldots,X_n$ y estamos interesados en un límite superior para la cantidad análoga
$
\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S)
$,
donde $\bar$ X es la media muestral y la $S$ es la desviación estándar de la muestra.
Un medio paso hacia adelante
Tenga en cuenta que ya por la aplicación de la original de una cara de la desigualdad de Chebyshev para $X_1 - \bar X$, obtenemos que
$$
\mathbb P( X_1 - \bar X \geq t\sigma ) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1}t^2}
$$
donde $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X_1)$, que es menor que el lado derecho de la versión original. Esto tiene sentido! Cualquier particular, la realización de una variable aleatoria a partir de una muestra tienden a ser (un poco) más cerca de la media de la muestra a la que contribuye que la media de población. Como veremos a continuación, vamos a llegar a reemplazar $\sigma$ $S$ bajo aún más en suposiciones generales.
Un ejemplo de la versión de un solo lado de Chebyshev
Reclamo: Deja de $X_1,\ldots,X_n$ ser una muestra aleatoria tal que $\mathbb P(S = 0) = 0$. Entonces, $$ \mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2}\>. $$ En particular, la
muestra la versión de la envolvente es más estrecha que la población original
versión.
Nota: Nosotros no asumir que el $X_i$ finito media o varianza!
Prueba. La idea es adaptar la prueba de la original de una cara de la desigualdad de Chebyshev y emplear la simetría en el proceso. En primer lugar, establecer $Y_i = X_i - \bar X$ por conveniencia notacional. A continuación, se observa que la
$$
\mathbb P( Y_1 \geq t S ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb P( Y_i \geq t S ) = \mathbb E \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf 1_{(Y_i \geq t, S)} \>.
$$
Ahora, para cualquier $c > 0$, $\{S > 0\}$,
$$\newcommand{I}[1]{\mathbf{1}_{(#1)}}
\I{Y_i \geq t S} = \I{Y_i + t c S \geq t S (1+c)} \leq \I{(Y_i + t c S)^2 \geq t^2 (1+c)^2 S^2} \leq \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2}\>.
$$
A continuación,
$$
\frac{1}{n} \sum_i \I{Y_i \geq t S} \leq \frac{1}{n} \sum_i \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1)S^2 + n t^2 c^2 S^2}{n^2 (1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n^2 (1+c)^2} \>,
$$
desde $\bar Y = 0$ y $\sum_i Y_i^2 = (n-1)S^2$.
El lado derecho es una constante (!), así que tomando las expectativas en ambos lados de los rendimientos,
$$
\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n^2 (1+c)^2} \>.
$$
Finalmente, la minimización de más de $c$ produce $c = \frac{n-1}{n^2}$, que después de un poco de álgebra se establece el resultado.
Que molestos condiciones técnicas
Tenga en cuenta que hemos tenido que asumir $\mathbb P(S = 0) = 0$ en el fin de ser capaz de dividir $S^2$ en el análisis. Esto no es ningún problema para absolutamente continuas distribuciones, pero plantea un inconveniente para discretas. Para una distribución discreta, hay una cierta probabilidad de que todas las observaciones son iguales, en cuyo caso $0 = Y_i = t S = 0$ para todo $i$ e $t > 0$.
Podemos sacudirnos de nuestra manera de salir por la configuración de $q = \mathbb P(S = 0)$. A continuación, una cuidadosa contabilidad del argumento muestra que todo va a través de prácticamente sin cambios, y tenemos
Corolario 1. Para el caso $q = \mathbb P(S = 0) > 0$, tenemos $$ \mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} + p \>. $$
Prueba. Se dividen en los eventos $\{S > 0\}$ y $\{S = 0\}$. La prueba anterior es válido para $\{S > 0\}$ y en el caso de que $\{S = 0\}$ es trivial.
Un poco de limpiador de la desigualdad de resultados, si reemplazamos la nonstrict la desigualdad en la probabilidad de instrucción con una versión estricta.
Corolario 2. Deje que $q = \mathbb P(S = 0)$ (posiblemente cero). Entonces, $$ \mathbb P(X_1 - \bar X > t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} \>. $$
Comentario Final: La versión de muestra de la desigualdad no requiere de supuestos en $X$ (aparte de que no se casi seguramente constante en el nonstrict desigualdad caso, que la versión original también tácitamente asume), en esencia, porque la muestra de la media y de la muestra varianza siempre existen si o no su población análogos de hacer.
