Adjunto acción suave (en Tapp del libro)?

Question

Estoy leyendo "la Matriz de Grupos de estudiantes de Pregrado" por Tapp con un estudiante. Una "matriz de grupo" se refiere a un subgrupo $G$ $GL_n(\mathbb R)$ que es (relativamente) cerrado ... así que si $(A_n)\subseteq G$$A_n\rightarrow A$, e $A$ es invertible, entonces a $A\in G$.

En el libro, los Colectores son tratados en forma ad-hoc. Dado $X\subseteq\mathbb R^m$ un mapa de $f:X\rightarrow \mathbb R^n$ es "suave" si para cada una de las $x\in X$ no es un conjunto abierto $U\subseteq\mathbb R^m$ contiene $x$, y un buen mapa de $g:U\rightarrow\mathbb R^m$ que está de acuerdo con $f$$U\cap X$. Luego de un colector se define de la manera obvia.

Entonces tenemos el adjunto acción de una mentira grupo $G$ en su mentira álgebra $\mathfrak g$. Si $\mathfrak g$ $d$ dimensiones, luego por la adopción de una base $A_1,\cdots,A_d$$\mathfrak g$, podemos considerar el adjunto acción como un homomorphism $Ad:G\rightarrow GL_d(\mathbb R)$. Así, para cada $g\in G$ hay una matriz de $(X_{ij}(g))$ con $$ g A_j g^{-1} =\sum_i X_{ij}(g) A_i. $$

¿Cómo podemos mostrar que $Ad$ es suave?

Si seguimos la definición del libro, a continuación, tendríamos que demostrar que $G\rightarrow \mathbb R^{d\times d}; g \mapsto (X_{ij}(g))$ es suave. Así, para cada $g\in G$ necesito un conjunto abierto $U$ $GL_n(\mathbb R)\subseteq\mathbb R^{n\times n}$ y una función suave $f:U\rightarrow\mathbb R^{d\times d}$ tal que $f(g) = (X_{ij}(g))$$g\in G\cap U$. Esto parece intratable...?

(Si uno tiene más de Colector de la teoría, entonces esto se convierte en una especie de obvio, como $Ad$ es simplemente la derivada de la conjugación de la acción, que es lisa, y la derivada de un buen mapa es suave. Pero quiero que atenerse a lo que el libro nos ha dicho...)

Edit: tal vez me puede explicar como sigue. El mapa de $(A,B)\mapsto \operatorname{Tr}(AB)$ es un centro de producto en $\mathbb M_n(\mathbb R)$; para que yo pueda encontrar $B_1,\cdots,B_n\in\mathbb M_n(\mathbb R)$$\operatorname{Tr}(A_iB_j)=\delta_{i,j}$. Así $$ X_{ij}(g) = \operatorname{Tr}(g A_j g^{-1} B_i). $$ Por lo tanto yo podría tomar como mi mapa $$ f(h) = \big( \operatorname{Tr}(h A_j h^{-1} B_i) \big)_{i,j}. $$ Esta es ahora una composición de la matriz inversa y la multiplicación, y la traza, todo liso mapas, por lo tanto $f$ es suave.

¿Esto parece razonable? Es este el método más fácil?

Answer 1

El mapa de $Ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g})$ se extiende muy bien a un mapa de $Ad:GL_n(\mathbb{R})\rightarrow Gl(\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R}))$. De hecho, desde el $GL_n(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2}$, podemos tomar $U = GL_n(\mathbb{R})$, de modo que, por definición, si esta extensión de mapa es suave, entonces es el mapa original.

Esto reduce el problema a la comprobación de suavidad en un caso concreto. Aquí, el "estándar"$E_{ij}$$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$. El uso de esta base, un cálculo directo muestra que para cada una de las $i$$j$, cada componente de $gE_{ij} g^{-1}$ es un polinomio en las entradas de $g$$g^{-1}$, y la regla de Cramer muestra las entradas de $g^{-1}$ están dadas como funciones racionales de las entradas de $g$ donde el denominador es $\det(g)$.

Así que, en general, cada componente de $gE_{ij}g^{-1}$ es dada como una función racional de las entradas de $g$ con denominador $\det(g)$, por lo que es suave. (Uno puede estar preocupado acerca de la división por $0 = \det(g)$, pero para $g\in GL_n(\mathbb{R})$, $\det(g)\neq 0$).