La evaluación de $\int \frac{1}{x\sqrt{x^4-4}} dx$

Question

Estoy teniendo problemas con la evaluación de $$\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^4-4}} dx$$

Traté de hacer $a = 2$, $u = x^{2}$, $du = 2x dx$ y la reescritura de la integral como: $$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} $$ Pero creo que algo no está bien en este paso (tal vez al cambiar de$dx$$du$)?

Termino con: $${1\over 4} \operatorname{arcsec} \dfrac{1}{2}x^{2} + C$$

Se agradece cualquier ayuda, me siento solo haciendo un simple error. También, por alguna razón, en WA, está mostrando una respuesta que involucre $\tan^{-1}$ pero no veo un $a^{2} + u^{2}$ posibilidad. Tenga en cuenta que yo no sé cómo a veces (diferentes) funciones trigonométricas inversas cuando integrados son iguales.

Ex: $$\int \dfrac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}} dx = \arctan{\sqrt{e^{2x}-1}} + C = \operatorname{arcsec}(e^{x}) + C $$

Answer 1

No hacer la sustitución correctamente (su sustitución funcionaría como usted lo escribió si $x$ estaban originalmente en el piso de arriba).

Pero la elección que hizo para $u$ funcionará:

Ha $u=x^2$$du=2x\,dx$.

De $du=2x\,dx$, usted tiene, dividiendo ambos lados por $2x^2$ $$\tag{1}{du\over 2x^2}={x\,dx\over x^2}.$$ Sustituyendo $u=x^2$ en el lado izquierdo de $(1)$ y la simplificación de la mano derecha, tenemos $$ \color{maroon}{{du\over 2 u}}=\color{maroon}{{dx\over x}}.$$ Substituting into the integral gives $$\int {\color{color granate}{dx}\\color{color granate} x \sqrt{ x^4-4}}= \int {\color{color granate}{du}\\color{color granate}{ 2u}\sqrt {u^2-4}} $$ which is an $\rm arcsec$ formulario.