No estoy seguro acerca de la derivada de la integral

Question

Me llama estúpido, pero me gustaría saber si mi entender, está bien:

$$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x f(s)ds\right)=\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$

Answer 1

No encontré esto en todos intuitiva hasta muy recientemente cuando he trabajado a través de los siguientes para obtener contento con él. Iniciar con la definición de un derivado

$$\frac{dg}{dx} = \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(h)}{h} $$

entonces

$$\frac{d}{dx}\int_0^xf(s)\;ds =\lim_{h\to0} \;\left[\frac{\int_0^{x+h}f(s)\;ds\;-\;\int_0^{x}f(s)\;ds}{h}\right]$$

$$= \lim_{h\to0} \;\left[\frac{\int_x^{x+h}f(s)\;ds}{h}\right]$$

$$= \lim_{h\to0} \;\left[\frac{f(x) h + O(h^2)}{h}\right]$$

$$= \lim_{h\to0}\; [f(x) + O(h)]$$

$$=f(x)$$

Este es el Teorema Fundamental del Cálculo. Hay una secuencia de Khan Academy videos en esta partida aquí.

Answer 2

Este es, precisamente, el Teorema Fundamental del Cálculo. Y $f(x)$ deben ser continuas en algún intervalo cerrado.