En la lógica, hacer la $\Longrightarrow$ $\rightarrow$ significan cosas diferentes? Hay contextos en los que uno es más apropiado que el otro?
Yo había creído que el $\Longrightarrow$ fue para metalogic, y el $\rightarrow$ fue para la lógica. Sin embargo, recientemente, me he dado cuenta de $\Longrightarrow$ utiliza más a menudo de lo que $\rightarrow$ en no-metalogical lógico contextos.
Larga historia corta, $\rightarrow$ es un operador de lógica, mientras que el $\implies$ es una declaración (donde se conoce el resultado debe ser cierto).
$\rightarrow$ : puede haber resultado "falso". $\\$ $\implies$ : Siempre la verdad, por definición, no puede ser falsa. No se utiliza como parte de un operador.
La definición lógica de "$A\to B$" es equivalente a $\neg A\vee B$:
"$A\Rightarrow B$" por el presente se define como un $A\to B$ que es siempre verdadera (tautología).
E. g. "$n>4\to n>2$" siempre es cierto, por lo que tiene "$n>4\Rightarrow n>2$".
El recíproco no se sostiene: "$n>2\to n>4$" es el derecho a la instrucción, pero "$n>2\Rightarrow n>4$" no se sostiene.
Por lo que he visto, $\longrightarrow$ $\implies$ significa que el material de implicación, "si, entonces". $\vdash$ $\therefore$ se utiliza para la implicación lógica. $\implies$ parece ser más común en los libros modernos y $\longrightarrow$ parece ser más común en los libros antiguos.
Por lo tanto $p \implies q$ significa que p es una condición suficiente para q es falsa, precisamente cuando $\neg p \land q$. $p \vdash q$ significa q sigue de p por axiomas, definiciones y teoremas.
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