El anillo de polinomios como un módulo sobre polinomios simétricos

Question

Considere el anillo de polinomios $ \mathbb {k} [x_1, x_2, \ldots , x_n]$ como un módulo sobre el anillo de polinomios simétricos $ \Lambda_ { \mathbb {k}}$ . Es $ \mathbb {k} [x_1, x_2, \ldots , x_n]$ un libre $ \Lambda_ { \mathbb {k}}$ -módulo? ¿Puede escribir explícitamente los generadores "buenos"? (Creo que tiene que ser algo muy clásico en la teoría de la representación).

Comentario: Mi pregunta inicial era si este módulo es plano. Pero como todos los módulos planos noetherianos sobre el anillo polinomio están libres (corrígeme si está mal), es la misma pregunta.

Hay una pregunta mucho más general, que parece poco probable que tenga una buena respuesta. Dejemos que $G$ ser un grupo finito y $V$ representación dimensional finita de G. Considere la proyección $p: V \rightarrow V/G$ . ¿Cuándo es $p$ ¿plano?

Answer 1

Deje que $s_i= \sum x_1 \ldots x_i$ son los polinomios simétricos fundamentales. Tenemos una secuencia de extensiones libres $$k[s_1, \ldots , s_n] \subset k[s_1, \ldots , s_n][x_1] \subset k[s_1, \ldots , s_n][x_1][x_2] \subset \cdots \\ \subset k[s_1, \ldots ,s_n] [x_1] \ldots [x_n] = k[x_1, \ldots ,x_n]$$ de grados $n$ , $n-1$ , $ \ldots $ , $1$ . En el paso $i$ los generadores son $1, x_i, \ldots , x_i^{n-i}$ . Por lo tanto $$k[s_1, \ldots , s_n] \subset k[x_1, \ldots , x_n]$$ es libre de grado $n!$ con generadores $x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}$ con $0 \le a_i \le n-i$ .

En términos más generales, para un grupo de reflexión finito de transformaciones $G$ actuando en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$ de la característica $0$ (para estar seguros) el álgebra de las invariantes $k[V]^G$ es un álgebra polinómica y $k[V]$ es un libre $k[V]^G$ módulo de rango $|G|$ --vea la respuesta de @estéfono: .

Answer 2

Sí, es un resultado clásico de la teoría de la representación: ${ \mathbb Z}[x_1,...,x_n]$ se califica libre sobre ${ \Lambda }_n$ de rango $n!$ (el rango graduado es el factorial cuántico $[n]_q!$ ), y una base está dada por los polinomios de Schubert definidos en términos de operadores de diferencia dividida.

Véase, por ejemplo, el original artículo de Demazure en particular el Teorema 6.2.

Pasando al cociente, se obtiene el anillo graduado ${ \mathbb Z}[x_1,...,x_n]/ \langle\Lambda_n ^+ \rangle $ que es isomorfo al anillo de cohomología integral de la variedad de bandera de ${ \mathbb C}^n$ y el ${ \mathbb Z}$ -base de los polinomios de Schubert coincide con la base de las clases fundamentales de células de Bruhat en la variedad de la bandera. Esto se explica en el libro de Fulton "Young Tableaux", Sección 10.4.

Answer 3

La respuesta de @orangeskid (+1) es la más clásica y directa, y la respuesta de @Hanno conecta su pregunta con el cálculo de Schubert y la geometría de las variedades de bandera (+1). Esperando que esto no sea demasiado autopromocional, también podrías echar un vistazo a mi trabajo Los polinomios de Jack y el anillo de monedas de $G(r,p,n)$ (Trabajé con algo más de generalidad)

http://tinyurl.com/l8u9wh5

donde mostré que ciertos polinomios de Jack no simétricos también dan una base (estaba trabajando con grupos de reflexión más generales y sobre los números complejos, pero una versión debería funcionar sobre cualquier campo de características $0$ No he pensado mucho en esto en la característica $p$ ). El punto de mi trabajo fue realmente conectar las bases de descenso (¡otra base!) estudiadas mucho antes por Adriano Garsia y Dennis Stanton en el trabajo Acciones de grupo de anillos Stanley-Reisner e invariantes de grupos de permutación

http://tinyurl.com/lhhtney

a la estructura teórica de la representación del álgebra de la moneda como un módulo irreducible para el álgebra racional de Cherednik. Por supuesto, esta estructura se vuelve mucho más complicada en la característica más pequeña que $n$ en particular, el álgebra de las variantes de monedas no será en general irreducible como módulo para el álgebra de Cherednik.

Hacia su segunda pregunta: por definición $p$ es plana si y sólo si $k[V]$ es un piso $k[V]^G$ -módulo. Esto ciertamente se mantiene si $k[V]$ es libre sobre $k[V]^G$ una condición suficiente para ello se da en Bourbaki, Teorema 1 de la sección 2 del capítulo 5 de Grupos de Mentiras y Algebras Mentirosas (página 110): en caso de que la característica de $k$ no divide el orden de $G$ basta con que $G$ se generen por reflejos. Esto es falso (en general) en la característica de dividir el orden del grupo. Pero vea el documento Extendiendo los teoremas de las variantes de Chevalley, Shephard-Todd, Mitchell y Springer por Broer, Reiner, Smith y Webb disponible, por ejemplo, en la página principal de Peter Webb aquí

http://www.math.umn.edu/~webb/Publicaciones/

para referencias y lo que se puede decir en esta generalidad (esta es un área de investigación activa, por lo que no debe esperar encontrar una respuesta limpia a su pregunta).

A la inversa, suponiendo $p$ es plana y examinando la prueba del teorema anterior en Bourbaki, se deduce que $k[V]$ es un libre $k[V]^G$ -módulo. Ahora la Observación 2 del Teorema 4 (página 120) muestra que $G$ se genera por reflejos. Así que para resumir: si $p$ es plana entonces $G$ es generado por reflexiones; en característica no dividiendo el orden de $G$ lo contrario se mantiene.

Answer 4

Otra perspectiva:

La extensión del anillo $S=k[s_1, \dots ,s_n] \subset k[x_1, \dots ,x_n]=R$ es finito, y como $R$ es Cohen-Macaulay entonces es libre de rango decir $m$ . Así que tenemos una descomposición de Hironaka $R= \oplus_ {i=1}^m S \eta_i $ para algunos homogéneos $ \eta_i\in R$ . Usando esto la serie Hilbert de $R$ es $$H_R(t)= \sum_ {i=1}^mH_S(t)t^{ \deg\eta_i }= \sum_ {i=1}^mt^{ \deg\eta_i }/ \prod_ {i=1}^n(1-t^i).$$ En el otro lado, $H_R(t)=1/(1-t)^n$ y por lo tanto $ \sum_ {i=1}^mt^{ \deg\eta_i }= \prod_ {i=1}^{n-1}(1+t+ \cdots +t^i)$ que para $t=1$ da $m=n!$ .