Cuando podemos agregar un tiempo total derivado de la $f(q, \dot{q}, t)$ a un Lagrange?

Question

El otro día, estaba escuchando esta conferencia en el Lagrangiano de una partícula cargada en un campo electromagnético, y en un momento en el video, el profesor menciona que podemos añadir cualquier tiempo total derivada de una función $f(q, t)$ a la de Lagrange, sin alterar sus ecuaciones de movimiento.

Esto no es nada nuevo para mí, y yo lo entiendo completamente, pero poco después (aproximadamente dos minutos después de que el vinculado punto de partida), él va a decir que usted puede, de hecho, la adición de un total de tiempo de derivada de una función $f(q, \dot{q}, t)$, dadas ciertas condiciones. Esto sin duda me sorprendió, y me encantaría saber más sobre él, pero el profesor se mueve rápidamente, así que mi pregunta es la siguiente: ¿bajo qué condiciones se puede añadir el tiempo total derivada de una función que depende de la partícula generalizado velocidades, además de sus generalizado de las coordenadas y del tiempo, sin afectar la partícula ecuaciones de movimiento?

Answer 1

I) En general, es cierto que si conectamos un local de Lagrange

$$\tag{1} L\quad \longrightarrow \quad \tilde{L}~=~L+\frac{df}{dt}$$

modificado con un total de término derivado en la de Euler-Lagrange expresión

$$\tag{2} \sum_{n} \left(-\frac{d}{dt}\right)^n \frac{\partial \tilde{L}}{\partial q^{(n)}}~=~\sum_{n} \left(-\frac{d}{dt}\right)^n \frac{\partial L}{\partial q^{(n)}}, $$

se produciría de forma idéntica el mismo Euler-Lagrange de expresión sin ningún tipo de restricciones en $L$$f$.

II) La advertencia es que el de Euler-Lagrange de la expresión (2) es sólo$^1$ físicamente legítimo, si se tiene una interpretación física como un variacional/funcional derivado de un principio de acción. Sin embargo, la existencia de un variacional/funcional derivado es un problema no trivial, que se basa en el bien planteado las condiciones de contorno para el problema variacional. Ver también esta relacionada con Phys.SE post. En la llanura inglés: las condiciones de frontera son necesarios en orden a justificar la integración por partes.

III) UN Lagrangiano $L(q,\dot{q},\ldots, q^{(N)},t)$ orden $N$ conduce a la ecuación de movimiento de la orden de $\leq 2N$. Normalmente se requiere el Lagrangiano $L(q,\dot{q},t)$ a ser de primer orden $N=1$. Ver, por ejemplo, este y este Phys.SE postes.

IV) Concretamente, supongamos que se nos da un primer orden de Lagrange $L(q,\dot{q},t)$. Si uno redefine el Lagrangiano con un total de derivados

$$\tag{3} \tilde{L}(q, \dot{q}, \ddot{q}, t)~=~L(q, \dot{q}, t)+\frac{d}{dt}f(q, \dot{q}, t), $$

donde $f(q, \dot{q}, t)$ depende de la velocidad de $\dot{q}$, entonces el nuevo Lagrangiano $\tilde{L}(q, \dot{q}, \ddot{q}, t)$ también puede depender de la aceleración de $\ddot{q}$, es decir, ser de orden superior.

V) Con un orden superior,$\tilde{L}(q, \dot{q}, \ddot{q}, t)$, podría tener que imponer las condiciones de contorno, a fin de obtener de Euler-Lagrange las ecuaciones desde el principio de acción estacionaria por el uso repetido de integraciones por partes.

VI) parece que el Prof. V. Balakrishnan en el vídeo tiene problemas de IV y V en mente cuando habló de "poner condiciones' en el sistema. Finalmente, OP también puede encontrar esta Phys.SE interesante post.

--

$^1$ Aquí ignoramos derivaciones de las ecuaciones de Lagrange directamente de las leyes de Newton, es decir, sin el uso del principio de acción estacionaria, ya que por lo general no implican redefiniciones (3).

Answer 2

Es trivial demostrar que cualquier $\frac{df}{dt}$ puede ser añadido para el lagrangiano bajo la condición de que $f$ se desvanece en el límite. De hecho, la acción se $$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t) + \frac{d f}{dt}(q,\dot{q},t) dt = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t) dt + f(q(t_2),\dot{q}(t_2), t_2) - f(q(t_1), \dot{q}(t_1), t_1),$$ which yields the usual Euler-Lagrange eqs. for $f$ vanishing at $t_1$, $t_2$.