Ejemplo de dos dependientes de variables aleatorias que satisfacer $E[f(X)f(Y)]=Ef(X)Ef(X)$ para todo $f$

Question

¿Alguien tiene un ejemplo de dos dependientes de variables aleatorias, que satisfacen esta relación?

$E[f(X)f(Y)]=E[f(X)]E[f(Y)]$ para cada función $f(t)$.

Gracias.

*edit: todavía no pude encontrar un ejemplo. Creo que uno debe ser de dos idénticamente distribuidas variables, ya que todos los "momentos" que necesita ser independiente: $Ex^iy^i=Ex^iEy^i$. Que la ciruela duro...

Answer 1

Aquí es un contraejemplo. Deje que $V$ el conjunto $\lbrace 1,2,3 \rbrace$. Considere las variables aleatorias $X$ y $Y$ con valores en $V$, cuya distribución conjunta se define por la siguiente matriz :

$$ P=\left( \begin{matriz} \frac{1}{10} & 0 & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} & 0 \\ \frac{1}{30} & \frac{7}{30} & \frac{2}{15} \end{matriz} \right)= \left( \begin{matriz} \frac{3}{30} & 0 & \frac{6}{30} \\ \frac{6}{30} & \frac{3}{30} & 0 \\ \frac{1}{30} & \frac{7}{30} & \frac{4}{30} \end{matriz}\right) $$

Así, por ejemplo, $P(X=1,Y=2)=0$, mientras que $P(X=1)P(Y=2)=(\frac{1}{10} + \frac{1}{5})(\frac{1}{10} + \frac{7}{30}) >0$. Por lo que $X$ y $Y$ no son independientes.

Deje que $f$ ser un ARBITRARIO (hago hincapié en este punto porque de un comentario a continuación) función definida en $X$ ; $x=f(1),y=f(2),z=f(3)$. Entonces

$$ \begin{array}{rcl} {\mathbf E}(f(X)) &=& \frac{3(x+y)+4z}{10} \\ {\mathbf E}(f(Y)) &=& \frac{x+y+z}{3} \\ {\mathbf E}(f(X)){\mathbf E}(f(Y)) &=& \frac{3(x+y)^2+7(x+y)z+4z^2}{30} \\ {\mathbf E}(f(X)f(Y)) &=& \frac{3x^2+6xy+3y^2+7xz+7yz+4z^2}{30} \\ \end{array} $$

Los últimos dos son iguales, qed.

Answer 2

Aquí es un continuo contraejemplo. Se ha discretos análogos, algunos de los cuales se encuentran en el fondo. Empezamos con una observación general, que puede ayudar a comprender de dónde contraejemplos vienen. (Para una versión abreviada de la respuesta, ir a la imagen y medite en ella, realmente lo dice todo.)

Suponga que $(X,Y)$ PDF con $p$ y que existe una función medible $q$ tal que, por cada $(x,y)$, $$ p(x,y)+p(y,x)=2q(x)q(y). $$ Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $p$ es un PDF. A continuación, para cada función $f$, $$ E[f(X)f(Y)]=\iint f(x)f(y)p(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\iint f(x)f(y)p(y,x)\mathrm dx\mathrm dy, $$ por lo tanto $$ E[f(X)f(Y)]=\iint f(x)f(y)q(x)q(y)\mathrm dx\mathrm dy=\left(\int f(x)q(x)\mathrm dx\right)^2. $$ Por tanto, si, además, $$ q(x)=\int p(x,y)\mathrm dy=\int p(y,x)\mathrm dy, $$ de hecho, $$ E[f(X)f(Y)]=E[f(X)]E[f(Y)]. $$ Ahora, con un contraejemplo: suponga que $(X,Y)$ es distribuido uniformemente en el conjunto $$ D=\{(x,y)\in[0,1]^2\,;\,\{y-x\}\leqslant\tfrac12\}, $$ donde $\{\ \}$ es la función de la parte fraccionaria. En palabras, $D$ (la parte de color negro en la imagen de la plaza $[0,1]^2$ más abajo) es la unión de las partes de la plaza $[0,1]^2$ entre líneas $y=x+\frac12$ y $y=x$, y debajo de la recta $y=x-\frac12$.

$\hskip2in$

Entonces $(Y,X)$ es distribuido uniformemente sobre la imagen de los $D$ por la simetría $(x,y)\a(y,x)$ (la parte blanca de la imagen de la plaza $[0,1]^2$ por encima), que pasa a ser el complemento de $D$ en la plaza $[0,1]^2$ (en realidad, modulo algunas líneas, que tienen cero de la medida de Lebesgue). Por lo tanto, nuestra primera identidad tiene con $q=\mathbf 1_{[0,1]}$, que es:

Si $(X,Y)$ es distribuido uniformemente en $, D$, entonces $X$ y $Y$ ambos están distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$, $(X,Y)$ no es independiente, y, para cada función $f$, $E[f(X)f(Y)]=E[f(X)]E[f(Y)]$.

Tenga en cuenta que $(X,Y)$ puede ser construido de la siguiente manera. Deje que $U$ y $V$ a ser yo.yo.d. uniforme en $[0,1]$, entonces $(X,Y)=(U,V)$ si $(U,V)$ es $D$, otro de $(X,Y)=(V,U)$.

Una analogía de esto en el discreto, se considerar $(X,Y)$ con distribución conjunta sobre el conjunto $\{a,b,c\}^2$ descrita por la matriz $$ \frac19\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\2&0&1\end{pmatrix}. $$ A continuación, el conjunto aleatorio de $\{X,Y\}$ es distribuido como $\{U,V\}$ donde $U$ y $V$ i.yo.d. uniforme en $\{a,b,c\}$. Por ejemplo, considerando $S=\{(a,b),(b,a)\}$, uno ve que $$ P[(X,Y)\in S]=\tfrac29=P[(U,V)\S], $$ desde $[(X,Y)\in S]=[(X,Y)=(a,b)]$, mientras que el $$ P[(U,V)\S]=P[(U,V)=(a,b)]+P[(U,V)=(b,a)]=\tfrac19+\tfrac19. $$ Por lo tanto, $$ E[f(X)f(Y)]=E[f(U)f(V)]=E[f(U)]E[f(V)]=E[f(X)]E[f(Y)]. $$ Este ejemplo puede ser extendido a cualquier espacio muestral de tamaño impar. Más general de la distribución en $\{a,b,c\}^3$ es, por cada us $|t|\leqslant1$, $$ \frac19\begin{pmatrix}1&1+t&1-t\\1-t&1&1+t\\1+t&1-t&1\end{pmatrix}. $$

Answer 3

La relación $E[XY]=E[X]E[Y]$ tiene si y sólo si la covarianza de $X$ y $Y$ es cero, es decir, $X$ y $Y$ no están correlacionados.

Así que, en realidad está pidiendo es no dependiente, pero no al azar variables $X$ y $Y$ de tal manera que cada función $f$ a preservar la uncorrelatedness.

Considere una función $f(x) = a$, donde $a$ es una constante. Ahora, $f(X) = a$ y $f(Y) = a$, y por lo tanto $f(X)$ y $f(Y)$ están correlacionados. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es que no hay ninguna de estas variables.

Answer 4

Si usted toma dependiente de variables aleatorias $X$ y $Y$ y $X^{'} = X - E[X]$ y $Y^{'} = Y - E[Y]$, entonces $E[f(X^{'})f(Y^{'})]=E[f(X^{'})]E[f(Y^{'})]=0$ mientras $f$ conserva el cero el valor esperado. Supongo que no se puede mostrar esto para todos de $f$.

Answer 5

Si $X$ y $Y$ son dependientes, a continuación, esta igualdad no puede sostener por cada función $f$.Usted puede encontrar algunos de los $f$ que esto es cierto, pero no para todos de $f$. Este es, por definición, independientes de las variables aleatorias.