Automorphism de $\mathbb{Q}^*$

Question

Mostrar que hay una infinidad de automorfismos del grupo $\mathbb{Q}^*$.

No estoy seguro de cómo mostrar esto. Si estamos tratando con anillo de automorfismos $\varphi:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$, entonces el hecho de que $\varphi(1)=1$ hace un anillo automorphism único. Sin embargo, ¿cómo podemos demostrar que con los grupos que hay inifinitely muchos de esos automorfismos.

Answer 1

Sugerencia: $$\mathbb{Q}^\times \cong (\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z}) \oplus \bigoplus_{p}\mathbb{Z}$$

donde la suma directa es indexado sobre los números primos.