La integración de $\int (\frac{1-x}{1+x})^{\frac{1}{3}}$

Question

He estado tratando de integrar esto por un largo tiempo, pero no puede.

$$\int \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac{1}{3}}$$

He intentado asumiendo $\frac{1-x}{1+x}=t^3$ , también trató de integración por partes, pero se queda atascado en un bucle.

Answer 1

Sugerencia. La evidente sustitución de aquí es $x=\frac{1-u}{1+u}$. El uso de este, podemos encontrar:

$$\begin{align} \int\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac13}\,\mathrm{d}x &=\int u^{\frac13}\cdot\frac{(-2)\,\mathrm{d}u}{(1+u)^2}\\ &=-2\int\frac{u^{\frac13}}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u. \end{align}$$

Luego sustituye $u=t^3$:

$$\begin{align} -2\int\frac{u^{\frac13}}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u &=-6\int\frac{t^3}{(1+t^3)^2}\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$$

Esto transforma el integrando de una función racional, por lo que el resto de el problema ahora es sólo cuestión de cálculo.

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EDITAR:

Desde la integración de la función racional que se llega en la sugerencia anterior no es necesariamente tan sencillo como pensaba al principio, voy a seguir adelante y completar la solución.

Primera nota de que $$\frac{d}{dt}\left[\frac{2}{1+t^3}\right]=\frac{-6\,t^2}{(1+t^3)^2}.$$

Así, integrando por partes se tiene:

$$\begin{align} \int\frac{-6\,t^3}{(1+t^3)^2}\,\mathrm{d}t &=\int t\left[\frac{-6\,t^2}{(1+t^3)^2}\right]\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{2\,t}{1+t^3}-2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}. \end{align}$$

La integral de la $\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}$ puede ser hecho por fracciones parciales.

$$\frac{1}{1+t^3}=\frac{1}{3(1+t)}+\frac{2-t}{3(1-t+t^2)}.$$

Para mayor comodidad, se puede reescribir el segundo término como:

$$\begin{align} \frac{2-t}{3(1-t+t^2)} &=-\frac{-2+t}{3(1-t+t^2)}\\ &=-\frac{-4+2t}{6(1-t+t^2)}\\ &=-\frac{(-1+2t)-3}{6(1-t+t^2)}\\ &=-\frac{-1+2t}{6(1-t+t^2)}+\frac{3}{6(1-t+t^2)}\\ &=-\frac{-1+2t}{6(1-t+t^2)}+\frac{1}{2(1-t+t^2)}. \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} \int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3} &=\frac13\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t}-\frac16\int\frac{-1+2t}{1-t+t^2}\,\mathrm{d}t+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}\\ &=\frac13\ln{(1+t)}-\frac16\ln{(1-t+t^2)}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}\\ &=\frac26\ln{(1+t)}-\frac16\ln{(1-t+t^2)}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}\\ &=\frac16\ln{\left[(1+t)^2\right]}-\frac16\ln{(1-t+t^2)}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}\\ &=\frac16\ln{\left[\frac{(1+t)^2}{1-t+t^2}\right]}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}\\ &=\frac16\ln{\left[\frac{(1+t)^3}{1+t^3}\right]}+\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}. \end{align}$$

Finalmente, la integral de la $\frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}$ puede ser encontrado más fácilmente por completar el cuadrado en el denominador. Tenemos,

$$\begin{align} t^2-t+1 &=\left(t^2-t+\frac14\right)+\left(1-\frac14\right)\\ &=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34\\ &=\frac14\left(2t-1\right)^2+\frac34\\ &=\frac34\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac34\\ &=\frac34\left[\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1\right]. \end{align}$$

Por lo tanto, una conveniente la sustitución sería $\frac{2t-1}{\sqrt{3}}=r\implies t=\frac{\sqrt{3}\,r+1}{2}\implies \mathrm{d}t=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{d}r$:

$$\begin{align} \frac12\int\frac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2} &=\frac23\int\frac{\mathrm{d}t}{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}\\ &=\frac23\int\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{d}r}{r^2+1}\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{\mathrm{d}r}{r^2+1}\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\left(r\right)}+\color{grey}{constant}\\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)}+\color{grey}{constant}. \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}=\frac16\ln{\left[\frac{(1+t)^3}{1+t^3}\right]}+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)}+\color{grey}{constant}.$$

Por lo tanto,

$$\int\frac{-6\,t^3}{(1+t^3)^2}\,\mathrm{d}t=\frac{2\,t}{1+t^3}-\frac13\ln{\left[\frac{(1+t)^3}{1+t^3}\right]}-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)}+\color{grey}{constant}.$$

Finalmente, para obtener la integral de la $\int\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac13}\,\mathrm{d}x$, simplemente sustituya $t=\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}$ en la expresión de la integral de la $\int\frac{-6\,t^3}{(1+t^3)^2}\,\mathrm{d}t$ indicó anteriormente. Esto implica,

$$\int\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac13}\,\mathrm{d}x=(1-x)^{1/3}(1+x)^{2/3}-\frac13\ln{\left[\frac{(1+x)\left(1+\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}\right)^3}{2}\right]}-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}-1}{\sqrt{3}}\right)}+\color{grey}{constant}.$$

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Nota: por otro lado, es interesante observar que mediante la combinación de la anti-derivada he encontrado con la anti-derivada Shadock dio en términos de funciones hipergeométricas, podemos entonces deducir una forma cerrada para la función hipergeométrica de Gauss $_2F_1(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{x+1}{2})$.

Answer 2

La respuesta de wolfram alpha es

$ \int (\frac{1-x}{1+x})^{1/3} dx = \frac{(2^{1/3}*(1-x)^{2/3}*_2F_1(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{x+1}{2})-2 x+2)}{2*(\frac{1-x}{1+x})^{2/3}}+constante $

con F la función hipergeométrica... Así que buena suerte para ti ^^

Yann

Answer 3

Sugerencia: $(\frac{(1-x)}{(1+x)^{1/3}}=(\frac 1{(1+x))^{1/3}}-(\frac{(x)}{(1+x))^{1/3}} $[puede romper $(\frac{(x)}{(1+x))^{1/3}} $ más para conseguir una forma adecuada?]

Después de editar Sugerencia:

Pruebe con función trigonométrica.