¿Por qué cualquier número distinto de cero a la cero potencia = 1?

Question

Yo no puedo correctamente envolver mi cabeza alrededor de este extraño concepto, aunque yo siento que me estoy casi allí.

Un no-cero de la base elevada a la potencia de 0 siempre da como resultado 1. Después de algún pensamiento, me di cuenta de esto es la prueba: $\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}= x^{2-2}=x^{0}=1$

Suponiendo que es cierto, sería correcto asumir que algo elevado a 0 es un "todo" (1)? Porque si $\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}=1$, entonces no importa lo que x es, el resultado será 1.

Me gustaría entender este concepto de forma intuitiva y profundamente, en lugar de simplemente memorizar que $x^{0}=1$

EDIT: Gracias a todos por las respuestas. Cada uno de ellos han sido perspicaz y ahora he adquirido una comprensión más profunda. Esta es una nueva cuenta, por lo que parece que no puede upvote, pero si pudiera me gustaría upvote cada uno de ustedes. Gracias :)

Answer 1

He aquí una buena heurística que me ayudó a sentirme mejor acerca de volver en el día:

Considere la posibilidad de cualquier número de $x$ a cualquier poder. Vamos a elegir, digamos, $5^3$.

$5^3 = 125$. Dividir ambos lados por $5$. Consigue $5^2=25$, lo que sabemos. De nuevo. Entonces usted consigue $5^1=5$. Nos suelen dejar exponentes de la $1$ off, pero vamos a mantenerlo aquí. ¿Ves lo que pasa? El poder va por $1$ cada vez. Podemos hacerlo de nuevo. A continuación, siguiendo nuestro patrón, $5^0=1$. Pero $5$ no era especial!

Usted puede hacer esto con cualquier número real. Por supuesto, para irrationals puede ser un poco confuso.

Por el camino, podemos seguir adelante. Dividir por $5$ nuevo. Consigue $5^{-1}=\frac{1}{5}$. Espero que esto ayude!

Answer 2

Claramente el valor de $x^0$ es una cuestión de definición. Una forma sencilla de pensar acerca de esto, que sólo implica entero no negativo poderes, es notar que para enteros positivos $a$ $b$ desea $$ x^{a+b}=x^a \, x^b. $$ Si se va a definir $x^0$ es probable que se quiere tener que sostener para $b=0$, que es $$ x^{a+0}=x^a \, x^0 \rightarrow x^{un}=x^a \, x^0 \rightarrow x^0=1. $$ Ahora hay otras formas de llegar a este, que implica la definición de la función exponencial (como en el infinito polinomio de la serie), pero la de arriba es la más sencilla.

Answer 3

Si lo pensamos al revés, se observa que, en el caso de 2, por ejemplo,

$2^4$ =16

$2^3$ = 8

$2^2$ = 4

$2^1$ = 2

Así, es lógico continuar dividiendo por dos,y llegar a la conclusión de que $2^0$ = 1. Esto es cierto para las potencias negativas, y es así porque es la forma más lógica para definir poderes fuera de los números naturales.

Answer 4

debido a $x^0=e^{0log(x)}=e^0=1, x> 0$.

Answer 5

_{Permítanme comenzar diciendo que yo no soy un matemático, y que voy a ser el uso de algunos pseudo-términos matemáticos en el interés de escribir algo más similar a la de inglés simplificado, más que matemático preciso jerga.}

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La pregunta que como se dijo es:

¿Por qué cualquier número distinto de cero a la cero potencia igual a uno?

Para responder a esta pregunta permite hablar primero acerca de lo que se entiende por "cero" de energía.

"cero energía" se refiere a la exponenciación. Para entender por qué el cero de energía funciona de la manera que lo hace importante definir correctamente la exponenciación.

La exponenciación es el acto de elevar un número a la potencia de otro número. Eso en realidad no es demasiado útil, porque ahora usted necesita saber lo que "elevar a la potencia".

...

Pero primero, vamos a hablar acerca de la multiplicación.

La multiplicación es la ley de la adición de un número ($a$) algún otro número ($b$) de los tiempos ($a \times b$).

$$2 + 2 + 2 = 2 \times 3$$

Esto es todo bien y bueno, pero cuando hablamos de mulitplying por $0$ necesitamos saber cuál es el número a poner en el lado izquierdo:

$$? = 2 \times 0$$

La base para la suma es $0$. Es la identidad aditiva. Cada ecuación de adición puede ser implícitamente comenzó con $0$. Esto significa que, por encima, dos veces tres es en realidad:

$$0 + 2 + 2 + 2 = 2 \times 3$$

En este formulario ciertos comportamientos vuelto bastante claro:

$$0 + 2 + 2 + 2 = 2 \times 3$$ $$0 + 2 + 2 = 2 \times 2$$ $$0 + 2 = 2 \times 1$$ $$0 = 2 \times 0$$

Negativos de tener sentido, porque en lugar de la adición de números, se hace lo contrario, onu-añadir (a menudo llamado "la resta"):

$$0 = 2 \times 0$$ $$0 - 2 = 2 \times -1$$ $$0 - 2 - 2 = 2 \times -2$$

...Bueno, con todo esto en mente, ahora es el momento de buscar la exponenciación.

La exponenciación es la ley de la multiplicación de un número ($a$) algún otro número ($b$) de los tiempos ($a ^ b$)

$$2 \times 2 \times 2 = 2 ^ 3$$

Esto es todo bien y bueno, pero cuando hablamos de "elevar a la potencia de 0" necesitamos saber qué cantidad poner en el lado izquierdo:

$$? = 2 ^ 0$$

La base para la multiplicación es $1$. Es la identidad multiplicativa. Cada ecuación de multiplicación puede ser implícitamente comenzó con $1$. Esto significa que arriba, dos a la potencia de tres es en realidad:

$$1 \times 2 \times 2 \times 2 = 2 ^ 3$$

En este formulario ciertos comportamientos vuelto bastante claro:

$$1 \times 2 \times 2 \times 2 = 2 ^ 3$$ $$1 \times 2 \times 2 = 2 ^ 2$$ $$1 \times 2 = 2 ^ 1$$ $$1 = 2 ^ 0$$

Asimismo, los negativos de tener sentido, porque en lugar de la multiplicación de los números, se hace lo contrario, onu-multiplicar (a menudo llamado "división"):

$$1 = 2 ^ 0$$ $$1 \div 2 = 2^{-1}$$ $$1 \div 2 \div 2 = 2^{-2}$$

Tenga en cuenta que estos patrones se mantenga independientemente de la base:

$$n \times n \times n \times 1 = n^3$$ $$n \times n \times 1 = n^2$$ $$n \times 1 = n^1$$ $$1 = n^0$$ $$1 \div n = n^{-1}$$ $$1 \div n \div n = n^{-2}$$ $$1 \div n \div n \div n = n^{-3}$$