La ramificación de los índices: ¿qué significa geométricamente que $2$ es la única ramificado que prime en $\Bbb{Z}[i]$?

Question

Estoy aprendiendo la teoría de los números, específicamente la ramificación de los índices, y yo estaba mirando el ejemplo de lo que los números primos en $\Bbb{Z}$ ramifican en $\Bbb{Z}[i]$. Por supuesto, el único en hacerlo es $2$, porque es la única prime $p$ tal que $x^2+1$ puede ser escrito como $f(x)^2$ modulo $p$.

A partir de un esquema teórico de punto de vista, tenemos un mapa de $Spec(\Bbb{Z}[i])\to Spec(\Bbb{Z})$, y podemos ver que la fibra de cada uno de los prime $p\in\Bbb{Z}$. Desde este punto de vista, la fibra de más de $2$ resulta ser $Spec(\Bbb{Z}/2[x]/(x+1)^2)$, y en este sentido es el único primer cuya fibra es un punto único donde el anillo de funciones globales ha nilpotents (es decir, el punto ha de "fuzz" alrededor de ella como de Vakil le gusta decir).

Me pregunto cuál es la conexión aquí? ¿Qué es la intuición para $2$ siendo el único prime que tanto ramifies y ha de "fuzz"?

Answer 1

Lo que sigue es más intuitivo que precisa.

Si usted tiene un mapa de $f: C \to D$ de las curvas (decir) (en tu ejemplo $C = \text{Spec}\,\mathbb{Z}[i]$, $D = \text{Spec}\,\mathbb{Z}$), y $f(P) = Q$ (estos son los puntos en esas curvas, por ejemplo $P = (1 + i)$, $Q = (2)$; en su caso, todos los puntos son nonsingular), a continuación, $f$ induce lineal mapa del espacio de la tangente en $P$ $C$para el espacio de la tangente a$Q$$D$. Estos dos tangente espacios se $1$-dimensiones (debido a que los puntos son nonsingular) por lo que el lineal mapa es cero o un isomorfismo.

(Lo que yo estoy diciendo no es muy preciso, ya que los residuos de los campos también pueden cambiar de$\ldots$ pero geométricamente se da el derecho a la intuición.)

En "decente" de los casos, el ex comportamiento (el lineal mapa es cero) es excepcional y, a continuación, $P$ es una ramificación punto del mapa. Cuando uno define todas estas cosas de manera algebraica, entonces nilpotents no son el único culpable; inseparable de residuos del campo de las extensiones también se dan ramificación.