Por $^nx$, me refiero a $x$ tetrated a $n$. Así que, básicamente, estoy buscando la solución de la ecuación $$\large x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x{^{x^x}}}}}}}}}=e$$. Is there some way to find the approximate value by using some infinite series or anything? I can only figure out that the value should be between $1$ and $2$. And, it should be far away from $2$ because for $x=2$, $^{10}x$ es un número muy grande. Hay alguna manera de aproximar?
Respuestas
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Suponiendo que el infinte tetraetion
$$ x^{x^{x^{....}}}=e $$
existe (que es de hecho el caso, en el sentido de un límite, ver aquí para más detalle), el valor de limitación está dada por
$$ x_*^e=e $$
o
$$ x_*=e^{1/e}\approx1.44466786 $$
lo que debe servir como una muy buena aproximación para la solución de $$x\uparrow\uparrow10=e$$
Actualización:
El valor real parece ser
$$x\approx 1.46396$$
por lo que el error relativo de uso de la aproximación infinte
es
$$ \frac{|x-x_*|}{x}\approx0.0131 $$
lo cual es bastante impresionante con respecto a la simplicidad de esta solución aproximada
zwim
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Teniendo en cuenta que aun $x^x=a$ no viene con una fórmula para$x$, creo que no es razonable buscar el resultado por medios tradicionales como dicotomía, especialmente desde el tetration es una función creciente en el intervalo considerado.
También desde $x\uparrow\uparrow n=e$ impone fuertes límites en $x$ $[1,2]$ como se dijo otra cosa sería divergen rápidamente, estamos de alguna manera en el rango ideal para la $pow$ función de la precisión.
Para un gran $n$, el infinito aproximación dada por el cansancio iba a funcionar bien, y para los pequeños $n$, no sería una gran cosa para un equipo para calcular el $x\uparrow\uparrow n$ con la precisión requerida.
Jorrit Reedijk
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129
Lo que usted pidiendo que me parece ser el 10-esima "superroot" (o, posiblemente, uno debe llamar a este e introducir un término como "tetroot del orden de 10") .
El uso de Pari/GP podemos hacer lo siguiente:
y=solve(x=1,1.5,x^x^x^x^x^x^x^x^x^x-exp(1))
%97 = 1.46395824688 \\ lines with %<number>= ... is output of the interpreter
y^y^y^y^y ^y^y^y^y^y
%98 = 2.71828182846
y^y^y^y^y ^y^y^y^y^y-exp(1)
%99 = 0.E-201
He hace algún tiempo hacer un pequeño análisis de este problema y una ruta de acceso general para hallar la potencia de la serie.
En otra generalización creo que incluso se puede interpolar a superroots de la fracción de orden (en su caso, solicite la (entero) 10-esima superroot)
(Sin embargo, yo no interpretar tetration de esta manera).
