¿Cuál es el valor de $^{\frac{1}{10}}e$?

Question

Por $^nx$, me refiero a $x$ tetrated a $n$. Así que, básicamente, estoy buscando la solución de la ecuación $$\large x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x{^{x^x}}}}}}}}}=e$$ . Is there some way to find the approximate value by using some infinite series or anything? I can only figure out that the value should be between $1$ and $2$. And, it should be far away from $2$ because for $x=2$, $^{10}x$ es un número muy grande. Hay alguna manera de aproximar?

Answer 1

Suponiendo que el infinte tetraetion

$$x^{x^{x^{....}}}=e$$

existe (que es de hecho el caso, en el sentido de un límite, ver aquí para más detalle), el valor de limitación está dada por

$$x_*^e=e$$

o

$$x_*=e^{1/e}\approx1.44466786$$

lo que debe servir como una muy buena aproximación para la solución de $$x\uparrow\uparrow10=e$$

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Actualización:

El valor real parece ser

$$x\approx 1.46396$$

por lo que el error relativo de uso de la aproximación infinte

es

$$\frac{|x-x_*|}{x}\approx0.0131$$

lo cual es bastante impresionante con respecto a la simplicidad de esta solución aproximada

Answer 2

Teniendo en cuenta que aun $x^x=a$ no viene con una fórmula para$x$, creo que no es razonable buscar el resultado por medios tradicionales como dicotomía, especialmente desde el tetration es una función creciente en el intervalo considerado.

También desde $x\uparrow\uparrow n=e$ impone fuertes límites en $x$ $[1,2]$ como se dijo otra cosa sería divergen rápidamente, estamos de alguna manera en el rango ideal para la $pow$ función de la precisión.

Para un gran $n$, el infinito aproximación dada por el cansancio iba a funcionar bien, y para los pequeños $n$, no sería una gran cosa para un equipo para calcular el $x\uparrow\uparrow n$ con la precisión requerida.

Answer 3

Lo que usted pidiendo que me parece ser el 10-esima "superroot" (o, posiblemente, uno debe llamar a este e introducir un término como "tetroot del orden de 10") .

El uso de Pari/GP podemos hacer lo siguiente:

y=solve(x=1,1.5,x^x^x^x^x^x^x^x^x^x-exp(1))
 %97 = 1.46395824688 \\ lines with %<number>= ... is output of the interpreter

y^y^y^y^y ^y^y^y^y^y
 %98 = 2.71828182846

y^y^y^y^y ^y^y^y^y^y-exp(1)
 %99 = 0.E-201

He hace algún tiempo hacer un pequeño análisis de este problema y una ruta de acceso general para hallar la potencia de la serie.
En otra generalización creo que incluso se puede interpolar a superroots de la fracción de orden (en su caso, solicite la (entero) 10-esima superroot)

(Sin embargo, yo no interpretar tetration de esta manera).