Reducción Del Grupo De Acciones

Question

Supongamos que $H\subconjunto G$ es un subgrupo de un grupo topológico de $G$, y $Y\subconjunto X$ es un subespacio de un espacio topológico de $X$. Supongamos que tenemos un grupo continuo de la acción $\rho : G\veces X\rightarrow X$ en $X$, y supongamos que $Y$ es $H$ estable, que es de $h.y \in S$ para todo $h\in H$ y $y\in S$. Puede formar el cociente de espacios $H\setminus Y$ y $G \setminus X$, y no es natural, continuo, en general, ni inyectiva ni surjective mapa de $\theta : H\setminus Y\rightarrow G\setminus X$. Estoy en busca de condiciones que aseguran que esta es una homeomorphism.

Se puede mostrar fácilmente que $\theta$ es $\mathrm{si}~$ Y cruza todas las órbitas, y uno a uno $\mathrm{si} ~ \forall y\in S, H. y=G. y\cap Y$. Así que voy a suponer que estas dos condiciones.

Bajo qué condiciones generales en $Y,~X,~H,~G$ y $\rho$ ($$Y siendo un subespacio cerrado (o incluso compacto), $H$ de ser un subgrupo cerrado (o posiblemente compacto) y/o $\rho$ un grupo de acción) es de $\theta$ a homeomorphism? Todos los espacios de $X$ que tengo en mente son Hausdorff, pero no necesariamente localmente compacto. Además, los grupos de $G$ I considerar son Mentira grupos, pero estoy interesado en las condiciones más precarias.

He encontrado una evidente conjunto de condiciones que aseguran que $\theta$ es un homeomorphism, asegurando $G\setminus X$ para ser Hausdorff, $H,$ y $Y$ compacto. Entonces $H\setminus de$ Y es compacto Hausdorff y $\theta$ debe estar cerrada.

Mi objetivo con esto es tratar de encontrar pruebas para la separación de los cocientes (mi meta inmediata) al trabajar con espacios más pequeños y más pequeños (siempre que sea posible compacto) subgrupos. Por ejemplo, si usted toma $\mathrm{Fr}(d,X)$ para ser el espacio de la totalidad de los $d$ fotogramas de un número finito de dimensiones espacio vectorial de $X$, yo podría demostrar que el cociente del espacio bajo la acción natural de $\mathrm{GL}(d)$ es la misma que la obtenida a partir de la ortonormales marcos con la acción del grupo ortogonal $\mathrm{O}(d)$. Esto es por supuesto una muy menor logro, pero he encontrado que es útil para mostrar que la acción natural de $\mathrm{GL}(X)$ en el grassmannian de $d$ aviones de $X$ es continua, y me ha ayudado a "creer" en algunas pruebas que involucran grassmannians y Stiefel colectores.

Gracias por su tiempo!

Answer 1

No sé si mi respuesta va a ser satisfactorio, pero en realidad es muy fácil.

Un continuo bijection $\varphi$ es un homeomorphism iff es abierto y/o cerrado (apertura/cercanía de $\varphi$ reformula la continuidad de la inversa de $\varphi^{-1}$). Como está escrito en la pregunta de si $Y$ es compacto (suficiente si $H\setminus Y$ es) y $G\setminus$ X es Hausdorff, entonces $\theta$ es, obviamente, cerrado.

Por otro lado, cuando $Y$ es abierto, entonces fácilmente se deduce que el mapa de $\theta$ es abierto.

Prueba. Indicar el cociente de mapa $Y\H\setminus Y$ $\pi^Y$, y del mismo modo deja de $\pi^X:X\to G\setminus X$ ser la evidente proyección. Queremos comprobar que para abrir todas las $U\subseteq H\setminus de$ Y la imagen $\theta(U)$ es abierto en $G\setminus X$. Desde $U=\pi^Y\left({(\pi^Y)}^{-1}(U)\right)$ y $\theta\circ\pi^Y = \pi^X$, podemos escribir $\theta(U)=\pi^X\left({(\pi^Y)}^{-1}(U)\right)$ y es suficiente para demostrar que $\pi^X$ es abierto.

Considere la posibilidad de cualquier abra $V\subseteq X$. Necesitamos comprobar si $\pi^X(V)$ está abierto en el cociente, por tanto, por definición de la topología cociente si su inversa de la imagen a través del cociente mapa está abierto en $X$. Tenemos la igualdad $${(\pi^X)}^{-1}\Big(\pi^X(V)\Big)= G. V \desbordado{def.}{=} \{g.v\ |\ g\in G,\ v\V \}$$ y $G. V$ es abierta como la suma de abrir los conjuntos de la forma $g.V$. Por lo tanto $\pi^X$ es tan abierto y tan es $\theta$, lo que termina la prueba.

Resumiendo: es muy común que un bijective $\theta$ es un homeo: es suficiente para suponer que $Y$ es compacto (y $G\setminus X$ Hausdorff) o abrir (y nada más).

A partir de la anterior prueba, podemos ver que una suficiente y necesaria condición para la apertura de $\theta$ (equivalentemente: para ser un homeomorphism) es que para cualquier subconjunto abierto $W\subseteq Y$ (suficiente para comprobar W que son $H$es estable) el conjunto $G. W$ es abierto en $X$.