¿Cuál es la diferencia entre las series de Taylor y Maclaurin?

Question

¿Cuál es la diferencia entre las series de Taylor y Maclaurin? ¿La serie que representa el seno es la misma en ambos sentidos? ¿Puede alguien describir un ejemplo para ambos?

Answer 1

Una serie de Taylor centrada en $x=x_0$ se da de la siguiente manera:

$$f(x)= \sum_ {n=0}^ \infty\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

mientras que una serie de Maclaurin es el caso especial de estar centrada en $x=0$ :

$$f(x)= \sum_ {n=0}^ \infty\frac {f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Puede que encuentres esto muy similar a un series de energía que es de la forma

$$f(x)= \sum_ {n=0}^ \infty a_n(x-x_0)^n$$

Particularmente donde $a_n= \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}$ . Si una función es igual a la de la serie de Taylor localmente, se dice que es una función analítica y tiene muchas propiedades interesantes. Sin embargo, no todas las funciones son iguales a su serie de Taylor, si es que existe una serie de Taylor.

Uno puede notar que la mayoría de las series más famosas de Taylor son una serie de Maclaurin, probablemente porque se ven más bonitas. Por ejemplo,

$$ \sin (x)= \sum_ {n=0}^ \infty\frac {(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

o,

$$ \sin (x)= \sum_ {n=0}^ \infty\frac {(-1)^n(x-2 \pi )^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

Lo cual se debe trivialmente al hecho de que $ \sin $ es una función periódica. Así que, si tuvieras que elegir, probablemente elegirías la primera representación. Sólo una convención.

El series geométricas es una serie de Maclaurin bastante conocida, que se puede derivar algebraicamente sin tomar derivados:

$$ \frac1 {1-x}= \sum_ {n=0}^ \infty x^n=1+x+x^2+x^3+ \dots $$

Sin embargo, se involucra un poco más cuando tratas de tomar la serie de Taylor en un punto diferente.

Answer 2

Una serie de MacLaurin es una ocurrencia especial de la Serie Taylor donde la serie se construye alrededor de x=0.

Las series de MacLaurin se utilizan generalmente si es posible.

Por ejemplo, se puede estimar $f(x)= \sin {x}$ con una serie de Maclaurin.

Sin embargo, no se puede estimar $f(x) = \frac {1}{x}$ con una serie de Maclaurin porque $f(x)$ no está definido cuando $x=0$ así que la mayoría de la gente elige centrarlo alrededor $x=1$ . El uso es todo sobre la preferencia.

Answer 3

La serie Taylor es una serie de funciones de la forma:

$$f(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty }a_{n}(x-a)^n,$$ donde $a_n= \frac {f^{(n)}(a)}{n!}.$ Esta serie se llama la serie de Taylor de $ f (x) $ alrededor del punto $ x = a. $ En el caso particular de $ a = 0 $ la serie se llama la serie Maclaurin.