¿Por qué el discriminante nos dice cuántos ceros tiene una ecuación cuadrática?

Question

La fórmula cuadrática establece que:

$$x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

La parte que nos interesa es $b^2 - 4ac$ esto se llama el discriminante.

Sé por el colegio que podemos usar el discriminante para averiguar cuántos ceros tiene una ecuación cuadrática (o mejor dicho, si tiene ceros complejos, reales o repetidos).

Si $b^2-4ac > 0$ entonces la ecuación tiene 2 ceros reales.
Si $b^2-4ac < 0$ entonces la ecuación tiene 2 ceros complejos.
Si $b^2-4ac = 0$ entonces la ecuación tiene ceros repetidos.

Pero no entiendo por qué esto funciona.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: A lo largo de esta respuesta, cuando digo "raíz" me refiero a "raíz real". El hecho de que cuando no hay raíces reales haya dos raíces complejas es un caso especial de la Teorema fundamental del álgebra . El hecho de que si hay alguna raíz real entonces no hay raíces complejas se deduce de algunos trucos algebraicos (se puede escribir la cuadrática como un producto de factores lineales, por ejemplo, y las raíces complejas deben venir en pares conjugados, etc.). Ahora me centraré en el papel del discriminante.

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Respuesta: La gráfica de la ecuación $y=ax^{2}+bx+c$ (con $a\neq0$ ) es una parábola. Una parábola tiene un único punto de giro, llamado vértice .

Supongamos que $a>0,$ por lo que el vértice de la parábola es un mínimo global. Al trazar la gráfica de la ecuación, se puede ver claramente que hay tres casos posibles:

1. si el vértice se encuentra por encima del $x$ -eje, entonces no hay raíces;
2. si el vértice se encuentra en el $x$ -eje, entonces hay exactamente una raíz;
3. si el vértice se encuentra por debajo del $x$ -eje, entonces hay dos raíces.

Resulta que el $x$ -La coordenada del vértice es $-\frac{b}{2a},$ y el $y$ -es por lo tanto $$a\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c = \frac{4ac-b^{2}}{4a}.$$ Por lo tanto, el $y$ -del vértice es cero (y por tanto sólo hay una raíz) precisamente cuando $4ac-b^{2}=0.$ El $y$ -es positiva precisamente cuando $4ac-b^{2}>0$ (recuerde: asumimos $a>0$ por ahora), es decir, $b^{2}-4ac<0,$ y entonces no tenemos raíces. El $y$ -es negativa precisamente cuando $4ac-b^{2}<0,$ es decir, $b^{2}-4ac>0,$ y entonces tenemos dos raíces.

Si $a<0$ entonces se intercambian las conclusiones de 1 y 3, y se siguen argumentos similares.

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Adenda: Se puede utilizar un análisis de casos geométricos similar para proporcionar discriminantes de polinomios de mayor grado (siempre que se sepa calcular los puntos de inflexión). Por otro lado, entonces tienes más puntos de inflexión, y apostaría a que el número de casos aumenta rápidamente, de modo que incluso para los cuárticos el análisis es probablemente bastante complicado.

Answer 2

El quid es simplemente las propiedades de la función raíz cuadrada. Sea $d = b^2-4ac$ sea el discriminante, entonces

• Si $d>0$ entonces $\sqrt{d}$ es un número real (positivo).
• Si $d = 0$ entonces $\sqrt{d}=0$ .
• Si $d<0$ entonces $\sqrt{d} = i\sqrt{-d}$ es $i$ por un número real no nulo, es decir, un número complejo que no es real.

En el primer caso sumamos/resta un número real positivo no nulo, lo que da como resultado dos valores reales diferentes.

En el segundo caso sumamos/resta cero (que no cambia el número), dejando el resultado $x = \frac{-b}{2a}$ , un único número real (que puede llamarse cero repetitivo o cero con multiplicidad).

En el tercer caso sumamos/resta un número complejo, por lo que el resultado es complejo.

Answer 3

Si la ecuación es $ax^2+bx+c=0$ con $a\ne0$ es equivalente a $$ 4a^2x^2+4abx+4ac=0 $$ que también puede reescribirse como $$ 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac $$ o, reconociendo el cuadrado del lado izquierdo, $$ (2ax+b)^2=b^2-4ac $$ Ahora bien, si $b^2-4ac<0$ no podemos encontrar un número real $x$ tal que $(2ax+b)^2=b^2-4ac$ porque $(2ax+b)^2\ge0$ .

Si $b^2-4ac=0$ la ecuación se convierte en $(2ax+b)^2=0$ Es decir, $2ax+b=0$ que tiene una única solución $x=-\frac{b}{2a}$ .

Si $b^2-4ac>0$ entonces la ecuación se divide en dos: $$ 2ax+b=\sqrt{b^2-4ac},\qquad 2ax+b=-\sqrt{b^2-4ac} $$ por lo que tenemos dos soluciones reales distintas.

Answer 4

Esto probablemente será demasiado complicado para el cartel original, pero supongo que esto puede proporcionar alguna idea.

Dejemos que $m$ y $n$ sean dos enteros mayores que $1$ , $k$ sea un campo y que $P\in k[X]_{\leqslant n-1}$ y $Q\in k[X]_{\leqslant m-1}$ . Por último, consideremos la siguiente transformación lineal: $$\varphi\colon\left\{\begin{array}{ccc}k[X]_{\leqslant m-1}\times k[X]_{\leqslant n-1} & \rightarrow & k[X]_{\leqslant m+n-1}\\(U,V) & \mapsto & PU+QV\end{array}\right..$$ Observe que $\varphi$ es invertible si y sólo si $P$ y $Q$ son polinomios coprimos. En efecto, dado que $\varphi$ es lineal y su dominio y codominio tienen la misma dimensión sobre $k$ basta con examinar cuando el mapa $\varphi$ es suryente. El resultado se deduce entonces del teorema de Bézout.

Sin embargo, $P$ y $Q$ son coprimos si y sólo si no tienen raíces comunes en un campo de extensión de $k$ .

Finalmente, $P$ y $Q$ no tienen una raíz común en un campo de extensión de $k$ si y sólo si $\varphi$ es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero.

Concretando a nuestro caso, dejemos que $m=3$ , $n=2$ , $P=aX^2+bX+c$ y $Q=P'=2aX+b$ . En ese caso, calculemos $\det(\varphi)$ en la base $\{(X^2,0),(X,0),(1,0),(0,X),(0,1)\}$ y $\{X^4,X^3,X^2,X,1\}$ uno tiene: $$\det(\varphi)=\left|\begin{pmatrix}a&0&0&0&0\\b&a&0&0&0\\c&b&a&2a&0\\0&c&b&b&2a\\0&0&c&0&b\end{pmatrix}\right|=a^3(4ac-b^2).$$ Por último, si $a\neq 0$ , $P$ es coprima con $P'$ es decir tiene raíces simples si y sólo si $b^2-4ac\neq 0$ .

Si quieres saber más consulta la resultante y la discriminante. Tenga en cuenta que este enfoque funcionará para cualquier grado al precio de cálculos más difíciles.

Answer 5

El discriminante puede definirse no sólo para los cuadráticos, sino también para los polinomios de grado superior como sigue: Supongamos que sabemos que un polinomio $$ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ tiene $n$ raíces $x_1,\ldots,x_n$ . Entonces el polinomio se puede reescribir como $$ (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$$ y las fórmulas de Vieta nos permiten expresar el $a_i$ en términos de $x_1,\ldots, x_n$ . El discriminante se define entonces como el producto de todas las diferencias entre raíces distintas: $$\tag1 D=(-1)^{n-1}\prod_{i\ne j}(x_i-x_j).$$ Este producto es simétrico en el $x_i$ (es decir, no cambia si intercambiamos dos raíces en la enumeración). Por un teorema muy importante, esto significa que $D$ puede expresarse en términos de $a_0,\ldots,a_{n-1}$ . Por ejemplo, para un polinomio cuadrático se obtiene la conocida $D=a_{1}^2-4a_0$ .

Pero, ¿qué hace $D$ ¿Nos lo dice? En primer lugar, si dos de las raíces coinciden, uno de los factores de $(1)$ es cero y por lo tanto $D=0$ . Además, para el caso $n=2$ simplemente tenemos $D=(x_1-x_2)^2$ y ésta debe ser positiva si $x_1,x_2$ son números reales distintos. Y viceversa, si $D>0$ entonces podemos calcular un valor supuesto para $x_1-x_2$ como $\sqrt D$ y luego, sabiendo que $x_1+x_2=-a_1$ por Vieta de nuevo, $x_1=\frac{(x_1+x_2)+(x_1-x_2)}{2}=\frac{-a_1+\sqrt D}2$