Elección de $q$ en Bebé Rudin del Ejemplo 1.1

Question

En primer lugar, mis disculpas si esto ya se ha preguntado/respondidas. Yo no era capaz de encontrar a esta pregunta a través de la búsqueda.

Mi pregunta viene de Rudin "Princicples de Análisis Matemático", o "Bebé Rudin," Ch 1, Ejemplo 1.1 en la página. 2. En la segunda versión de la prueba, mostrando que los conjuntos a y B no tienen mayor o el menor de los elementos, respectivamente, se presenta una aparentemente arbitraria asignación de un número de $p$ que satisface las ecuaciones (3) y (4), además de otras condiciones necesarias para demostrar que $q$ es el número de la derecha de la prueba. Como un ejercicio, he intentado derivar su opción de $p$, para que yo pueda aprender más sobre el problema.

Si escribimos las ecuaciones (3) como $q = p - (p^2 - 2)x$, podemos escribir (4) como

$$ q^2 - 2 = (p^2 - 2)[1 - 2px + (p^2 - 2)x^2]. $$

Aquí, tenemos un racional $x > 0$, elegido tal que la expresión en $[...]$ es positivo. El uso de la fórmula cuadrática y el signo de $(p^2 - 2)$, se puede demostrar que necesitamos

$$ x \in \left(0, \frac{1}{p + \sqrt{2}}\right) \mbox{ para } p \en Una, $$

o, por $p \in B$, $x < 1/\left(p + \sqrt{2}\right)$ o $x > 1/\left(p - \sqrt{2}\right)$.

Aviso de que hay MUCHAS soluciones a estas ecuaciones! La forma más fácil de ver, tal vez, es dejar que $x = 1/(p + n)$ para $n \geq 2$. Observe que Rudin elige a $n = 2$ por su respuesta, pero se comprueba fácilmente por otros $n$.

La Pregunta: ¿por Qué Rudin elegir $x = 1/(p + 2)$ específicamente? Es sólo para hacer que las expresiones de trabajo claramente algebraicamente? ¿Por qué no comentar sobre su elección particular o de la naturaleza del conjunto de soluciones que funcionan para la prueba? Hay una simple derivación de la cantidad de $p$ que me estoy perdiendo?

Answer 1

Rudin la aproximación a $\sqrt{2}$ surge simplemente por la aplicación por el método de la secante - una diferencia analógica del método de Newton para encontrar sucesivamente mejores aproximaciones a las raíces.

Como los enlaces de la Wikipedia artículo muestra, la relación de recurrencia para la secante método es la siguiente.

$$\rm S_{n+1}= \dfrac{S_{n-1}\ f\:(S_n) - S_n\ f\:(S_{n-1})}{f\:(S_n)-f\:(S_{n-1})}\qquad\qquad\qquad\qquad$$

Por $\rm\ (S_{n-1},S_n,S_{n+1}) = (p,p,p')\ $ y $\rm\ f\:(x) = x^2-d\:,\:$ obtenemos

$$\rm p'\ =\ \dfrac{q\:(p^2-d) - p\:(q^2-d)}{p^2-d-(p^2-d)}\ =\ \dfrac{(p-q)\:(p\:q+d)}{p^2 + q^2}\ =\ \dfrac{p\:q+d}{p+q}$$

Finalmente se especializa $\rm\: q = 2 = d\: $ rendimientos Rudin la aproximación $\rm\displaystyle\ p'\ =\ \frac{2\:p+2}{\ \:p+2}$

El método de la secante tiene increíblemente hermoso conexiones con el grupo la ley en los cónicos. Para aprender acerca de este folclore, yo recomiendo Sam Northshield de la Asociatividad de la Secante Método. El lector ya está familiarizado con el grupo la ley sobre curvas elípticas, pero no están familiarizados con el caso de degeneración de cónicas, también puede encontrar útil de algunos de Franz Lemmermeyer de exposiciones, por ejemplo, los Cónicos - un pobre hombre de curvas elípticas.

Answer 2

En el interés de hacer esta pregunta y la respuesta más autónomo, aquí está el ejemplo en cuestión. Mi respuesta es la siguiente.

Creo que golpear el clavo en la cabeza. Él estaba buscando una racional $y$ que $q = p+$ y tendrá las propiedades deseadas en ambos casos.

En primer lugar, si $p \in A$ queremos que $p<q \Leftrightarrow y > 0$ y si $p \in B$ queremos que $p>q \Leftrightarrow y < 0$. Bien podríamos aprovechar el signo de $p^2-2$ en cada caso para lograr esto mediante la búsqueda de una cantidad positiva de $x$ tales que $q = p - (p^2-2)x$.

Como se mostró, cualquier elección $0 < x < 1/(p+\sqrt{2})$, va a satisfacer los requisitos de $p \in a \Rightarrow q \in A$ y $p \in B \Rightarrow q \in B$. Él quería asegurarse de que $x$ era racional, y la manera más fácil de hacer esto es tomar $x = 1/(p+k)$ donde $k$ es un número entero mayor que o igual a $2$. No hay necesidad de complicar las cosas aún más que eso, así que él simplemente elige el más pequeño de $k$ que funciona, es decir, $2$.

Mi derivación fue la misma que la suya, y dudo que pudiera llegar más simple que eso.

En cuanto a por qué él no hizo comentarios sobre su elección: bueno, es la manera de cómo Rudin es. Él rara vez (si alguna vez?) comentario sobre la motivación de sus pruebas! Es entrañable para algunos, y tal vez un poco exasperante para los demás.

Answer 3

Dado un positivo racional $p$ con $p^{2} < 2$, Rudin encuentra un racional $q$ con $q > p$ y $p^{2} < 2$. Él encuentra una expresión para $q$ en $p$, que es sin duda basado en técnicas numéricas para encontrar la raíz cuadrada de un número. Dar una fórmula para $q$ sin explicación alguna lo hace más misterioso y por lo tanto esta pregunta.

Un enfoque mucho más simple, es para mostrar que un $p$ existe, sin dar una fórmula directa para él. Esto es lo que Hardy hace en el primer capítulo de su libro "Un Curso de Matemáticas Puras". Claramente para cualquier entero positivo de $n$, se puede encontrar $n + 1$ números racionales entre $1$ y $2$ es decir, $1, 1 + 1/n$, $1 + 2/n, \cdots, 1 + n/n = 2$. Desde $1^{2} < 2 < 2^{2}$, es evidente que en esta sucesión de racionales habrá una última cuyo cuadrado es menor que $2$ y el siguiente tendrá su plaza mayor que $2$.

Así pues, tenemos dos racionales positivos racionales $x, y$ que $x^{2} < 2 < y^{2}$ y $y - x = 1/n$. Tomando $n$ lo suficientemente grande como es fácil ver que, dado cualquier positivos racionales $\epsilon$ podemos encontrar positiva racionales $x,$ y $x^{2} < 2 < y^{2}, x < 2, y < 2$ y $y - x < \epsilon$. De esto se sigue que $y^{2} x^{2} = (y + x)(y - x) < 4\epsilon$. Esto significa que $(y^{2} - 2) + (2 - x^{2}) < 4\epsilon$ y por tanto $(y^{2} - 2) < 4\epsilon, (2 - x^{2}) < 4\epsilon$ ya que tanto las expresiones $(y^{2} - 2), (2 - x^{2})$ es positivo.

Ahora elegimos $4\epsilon = 2 - p^{2}$ y, a continuación, podemos encontrar positiva racional de $x$ tales que $2 - x^{2} < 4\epsilon = 2 - p^{2}$ de modo que $x > p$ y ya tenemos $x^{2} < 2$.

Ver la elegancia de la técnica anterior. Idealmente, lo que necesitamos es una aproximación (en el lado inferior) por $\sqrt{2}$, que es mejor que la existente aproximación $p$. Tan sólo tenemos que elegir un racional entre $p$ y $\sqrt{2}$. Esto es posible incluso sin definir el símbolo $\sqrt{2}$, porque tenemos acceso a los números de $de 1$ (inferior a aprox $\sqrt{2}$) y $2$ (superior aprox) y, a continuación, podemos dividir la brecha entre $1$ y $2$ tan finamente como sea posible para obtener aproximaciones a $\sqrt{2}$, que son tan buenas como las que necesitamos.