¿Cómo se mide el giro a lo largo de una dirección arbitraria?

Question

Necesito medir el giro de los átomos a lo largo de una dirección perpendicular al eje z pero con un ángulo $$ \phi $$ con el eje x.

Entonces obtienen que la salida del giro medido es + con probabilidad $$ \cos^2(\phi/2) $$ ¿Existe una fórmula general que pueda utilizar para calcular el estado de espín + y, a continuación, formar que determine esta probabilidad?

Answer 1

Da una vuelta $1/2$ partícula con su espín apuntando a lo largo de $\hat{n}$ definido por

$$\hat{n}=(\sin{\phi}\cos{\theta},\sin{\phi}\sin{\theta},\cos{\phi})$$

Estamos midiendo el giro a lo largo de $\hat{n}$ y el operador correspondiente a este observable es $\vec{S}\cdot\hat{n}$ .

$$\vec{S}\cdot\hat{n}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos{\phi} & \sin{\phi}e^{-i\theta} \\ \sin{\phi}e^{i\theta} & -\cos{\phi} \end{pmatrix}$$

Como mientras tanto esto fue etiquetado como tarea, no voy a dar una respuesta completa. A partir de este punto, todo lo que tienes que hacer es encontrar los valores y vectores propios de $\vec{S}\cdot\hat{n}$ . Después de encontrar los vectores propios, deberías ser capaz de llegar rápidamente a la probabilidad deseada de $\cos^{2}(\phi/2)$ .