Una superficie tal que cualquiera de los dos triángulos en que no son congruentes.

Question

Hace una superficie tal que cualquiera de los dos triángulos diferentes en que no son congruentes existen?

Añadido:Supongamos que las superficies son definidos por algunos continua la función:$R^2\rightarrow R$ y un triángulo es un conjunto de tres no colineales puntos conectados por tres geodesics.

Answer 1

Suponiendo que por "superficie" te refieres a un gráfico de $\Gamma_f=\{(x_1,x_2,f(x_1,x_2))|\;x_1,x_2\in\mathbb R\}$ de una función de $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, como usted menciona en los comentarios, y suponiendo que por "diferentes triángulos que no son congruentes" te refieres a lo que Hagen von Eitzen dice en los comentarios (es decir, que la función de $\Phi$ vamos a definir a continuación es inyectiva; edición: esto significa, en particular, que el triángulo debe ser interpretado como tres puntos de espacio métrico, que podría ser un poco no estándar), la respuesta es negativa.

La razón es la siguiente: se define la función de $\Phi:\mathbb R^6\to\mathbb R^3$ (según lo sugerido por Hagen von Eitzen en los comentarios) $$\Phi(X,Y,Z)=(d(F(X),F(Y)),d(F(X),F(Z)),d(F(Y),F(Z))),$$ where $X,Y,Z\in\mathbb R^2$ and $F:\mathbb R^2\a \Gamma_f$ is the homeomorphism $(x,y)\a(x,y,f(x,y))$ (and we identify $\mathbb R^6$ with $\mathbb R^2\times\mathbb R^2\times\mathbb R^2$).

El problema es que $\Phi$ es una función continua, sino una continua inyección de $\mathbb R^6\to\mathbb R^3$ no puede existir. Esto es debido a que una inyección sería, en particular, a la mapa $$S^5 =\{(x,y,z,u,v,w)\in\mathbb R^6|\;x^2+y^2+z^2+u^2+v^2+w^2=1\}$$ continuously and injectively into $\mathbb R^3$, and thus into $\mathbb R^5$. Esto estaría en contradicción con la Borsuk-Ulam teorema.

Agregado: Si por la superficie que quieres decir $2$-colector, el mismo argumento funciona (y la respuesta es de nuevo negativo): vamos a $M$ $2$- variedad en cuestión. (Suponemos que no es una métrica dada en $M$.) A continuación, un punto arbitrario que en su interior tiene un vecindario $U$ homeomórficos a $\mathbb R^2$. Este homeomorphism $h:U\to\mathbb R^2$ nos permite definir una métrica $d_U$ $\mathbb R^2$ $d_U(h(p),h(q))=d(p,q)$ donde $p,q\in U$ (e $d$ es la métrica en $M$). Ahora defina $\Phi:\mathbb R^6\to\mathbb R^3$ de forma análoga a la definición anterior, es decir, $$\Phi(X,Y,Z)=(d_U(X,Y),d_U(X,Z),d_U(Y,Z)).$ $ que Esta vez es continua, y por lo tanto no puede ser inyectiva por Borsuk-Ulam.