Complejo los Troncos y las Raíces de la Unidad

Question

Necesito encontrar todas las soluciones para el siguiente uso de los logaritmos:
$(e^z-1)^3=1$ donde z es un número complejo.

Me han dicho que el uso de raíces de la unidad que puede romper esta ecuación de abajo, pero me debe faltar algo.

Tan lejos...
$c=e^z-1$
$c^3=1$
$c=1^{1/3}e^{i(2 π k/3)}$ ; $k={0,1,2}$
$e^z-1=1^{1/3}e^{i(2 π k/3)}$

Y a partir de ahí estoy atascado, suponiendo que en realidad estoy haciendo progresos. Una sugerencia sería oleaje.

Answer 1

Vamos a denotar :

$z=a+b\cdot i$

$e^{a+b\cdot i}-1=1\Rightarrow e^{a+b\cdot i}=2 \Rightarrow e^{a} \cdot e^{bi}=2\Rightarrow$

$\Rightarrow e^{a}(\cos b +i\sin b)=2\Rightarrow e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b=2 \Rightarrow$

$\Rightarrow e^{a}\cos b=2 $ $e^{a}\sin b=0 \Rightarrow b=2k\pi \Rightarrow$

$\Rightarrow e^{a}\cos 2k\pi=2\Rightarrow e^{a}=2 \Rightarrow a=\ln 2\Rightarrow$

$\Rightarrow z=\ln 2 +i\cdot 2k\pi ; k\in \mathbf{Z^*}$