Escribí $\int _{-1}^1 \log x\; dx$ en Wolfram Alpha. Se está dando la respuesta a la se $-2+i\pi$. Por favor alguien puede explicar lo que está sucediendo?
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WA es probablemente sumar el bien definidos integrales $$\int_0^1\log x\,\mathrm dx=\left.x\log x-x\right|_0^1=-1$$ and $$\int_{-1}^0\log x\,\mathrm dx,$$ using the convention that, when $x$ is real and negative, $\log x=\mathrm i\pi+\log|x|$, hence $$\int_{-1}^0\log x\,\mathrm dx=\int_0^1(\mathrm i\pi+\log u)\,\mathrm du=\mathrm i\pi-1,$$ por el primer cálculo.
La validez de dicha medida podría ser cuestionada, ya igualmente válida la definición de la (compleja) logaritmo en el eje real negativo sería que $\log x=-\mathrm i\pi+\log|x|$ por cada $x\lt0$, o que $\log x=43\mathrm i\pi+\log|x|$ por cada $x\lt0$, o sea que...
Felix Marin
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$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con la $\ds{\ln}$-rama de la corte: $$ \ln\pars{z}=\ln\pars{\verts{z}} + {\rm Arg}\pars{z}\ic\,,\quad -\,{\pi \over 2} < {\rm Arg}\pars{z} < {3\pi \over 2}\,,\quad z \no= 0 $$
\begin{align}&\lim_{\epsilon\ \to\ 0^{+}}\braces{% \int_{-1}^{-\epsilon}\bracks{\ln\pars{-x} + \pi\,\ic}\,\dd x +\int_{\pi}^{0} \ln\pars{\epsilon\expo{\ic\theta}}\,\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\dd\theta +\int_{\epsilon}^{1}\ln\pars{x}\,\dd x} \\[3mm]&=\lim_{\epsilon\ \to\ 0^{+}}\braces{% \int_{\epsilon}^{1}\bracks{\ln\pars{x} + \pi\ic}\,\dd x +\int_{\epsilon}^{1}\ln\pars{x}\,\dd x} =2\ \overbrace{\int_{0}^{1}\ln\pars{x}\,\dd x} ^{\ds{\color{#c00000}{\large=\ -1}}}\ +\ \pi\ic \\[3mm]&=\color{#66f}{\Large -2 + \pi\ic} \end{align}
