Resolver la ecuación $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{101}$ en naturales

Question

Mi intento fue $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{2}{101}\\x+y=2k,xy=101k\\x=2k-y\\y(2k-y)=101k\\2ky-y^2=101k\\y^2-2ky+101k=0\\y=k+\sqrt{k^2-101k}\\x=k-\sqrt{k^2-101k}$$ Ahora $\sqrt{k^2-101k}$ tiene que ser entero o racional, si es un entero tiene que ser $k=101$ causa $gcd(k,k-101)=1\lor101$ y ambos $k,k-101$ no pueden ser ambos cuadrados de un entero, por lo que $k=101t$ y $t(t-1)$ nunca es un cuadrado, excepto para $t=1,0$ y $t=0$ no es posible, por lo tanto $k=101$ es la única solución entera posible

EDIT: Así que si $\gcd(k,k-101)=1$ entonces $k=h^2,k-101=(h-s)^2$ entonces $h(2h-s)=101$ que puede ser $s=1,h=51$ o $s=101,h=51$ . $y=51^2+51\cdot50=51\cdot 101,x=51$ Y como $x=2k-y$ es un número entero, entonces $k=\frac{h}{2}$ Si $h=2q$ entonces $k$ es un número entero, en caso contrario, si $h=2q+1$ entonces $$\frac{2q+1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4q^2-400q-201}=\frac{2q+1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(2q-10)^2-301}\\(2q-10)^2-301=r^2\\2q-10=z\\z^2-301=(z-c)^2\\c(2z-c)=301,c=1,z=151,c=7,z=25,c=43,z=25$$ El $z=151$ es imposible porque $2q-10$ es par, y $z=25$ también es imposible porque $2q-10$ es par. Por lo tanto, las únicas soluciones son $(x,y)=(101,101),(51,5151),(5151,51)$ La última claramente por simetría

Answer 1

Un comienzo: Reescribir como $2xy-101x-101y=0$ y luego como $4xy-202x-202y=0$ y luego como $(2x-101)(2y-101)=101^2$ . No hay muchas formas de factorizar $101^2$ .

Observación: El planteamiento del PO está bien, un poco más complicado. Si usted va a través de la ruta descrita anteriormente, usted encontrará que un par de soluciones se perdió.

Answer 2

$$\dfrac1x=\dfrac{2y-101}{101y}\iff x=\dfrac{101y}{2y-101}$$

Si $d$ divide $2y-101,101y$

$d$ debe dividir $2(101y)-101(2y-101)=101^2$

Así que, $2y-101$ debe dividir $101^2$ para hacer $x$ un número entero

Answer 3

Sugerencia: piense en $\frac{1}{a}+\frac{1}{a(2a-1)}$

Answer 4

$1/x + 1/y = 2/101$

$(x+y)/xy = 2/101$

Así que $101|xy$ . Pero 101 es primo así que 101|x o 101|y o ambos.

La simetría Wolog asume 101|x.

Dejemos que $x = 101x'$ .

$(101x' + y)/101x'y = 2/101$

$(101x' + y)/x'y = 2$

Así que $x'|y$ . Sea y = x'y'.

$(101 + y')/x'y' = 2$

Así que $y'|101$ .

Así que $y' = 1$ de $y' = 101$ .

Así que $102/x' = 2$ y $x'=51; y'=1$ o $202/x'101 = 2$ y $x'=1; y' = 101$

Así que $x=5151;y=51$ o $x=101;y=101$ . Y eliminando la simetría wolog; o $x = 51; y= 5151$