¿Es $\frac{\zeta (m+n)}{\zeta (m)\zeta (n)}$ un número racional para $m,n\ge 2\in\mathbb N$?

Question

Pregunta : ¿Es $$\frac{\zeta (m+n)}{\zeta (m)\zeta (n)}$$ un número racional para $m,n\ge 2\in\mathbb N$ donde $\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$?

Motivación : Sabemos que $$\zeta (2k)=(-1)^{k+1}\frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$$ y que $B_{2k}$ es un número racional para cualquier $k\in\mathbb N$ donde $B_n$ son los números de Bernoulli.

Por lo tanto, si tanto $m$ como $n$ son pares, entonces podemos ver que $$\frac{\zeta (2a+2b)}{\zeta (2a)\zeta (2b)}=\frac{(-1)^{a+b+1}\frac{B_{2a+2b}(2\pi)^{2a+2b}}{2(2a+2b)!}}{(-1)^{a+1}\frac{B_{2a}(2\pi)^{2a}}{2(2a)!}\cdot (-1)^{b+1}\frac{B_{2b}(2\pi)^{2b}}{2(2b)!}}$$ es un número racional donde $m=2a, n=2b$.

Sé que sabemos poco acerca de $\zeta (2a+1)$. Hago esta pregunta solo porque me gustaría que me digas algo útil.

Actualización : Acabo de poder demostrar el siguiente teorema :

Teorema : Si $(\star)$ es verdadero, entonces $\frac{\zeta (5)}{\zeta (2)\zeta (3)}$ es un número irracional.

Aquí, suponiendo que $a,b,c\in\mathbb Z$, $$\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(ax^4+b\pi x^3+c{\pi}^{2}x^2)\log(\sin x)dx=0\Rightarrow a=b=c=0\qquad(\star)\end{align}$$

Sin embargo, no puedo demostrar que $(\star)$ sea verdadero. Estoy haciendo esta pregunta en MSE.

Answer 1

Es muy improbable que $\zeta(m+n)/(\zeta(m) \zeta(n))$ sea racional para ninguno de los casos en que $m$ o $n$ sean impares. Por otro lado, demostrar que alguno de ellos es irracional te daría una buena cantidad de fama.