Probabilidad de que un palo al azar roto en dos lugares se puede formar un triángulo

Question

Al azar romper un palo (o un pedazo de espagueti seco, etc.) en dos lugares, formando tres piezas. La probabilidad de que estas tres piezas se puede formar un triángulo es de $\frac14$ (coordinatize el palo formulario $0$ a $1$, llame a los puntos de rotura de $x$ y $y$, considerar la unidad de la plaza del plano de coordenadas, a la sombra de las áreas que satisfacen la desigualdad de triángulo de edición: ver comentarios sobre la pregunta, a continuación, para una mejor explicación de esto).

El otro día en clase^*, mi profesor era la demostración de cómo hacer una simulación de Monte Carlo de este problema en una calculadora y escribió un programa que, para cada ensayo, hizo lo siguiente:

1. Escoger un número al azar de $x$ entre $0$ y $1$. Este es el primer lado de longitud.
2. Escoger un número al azar $y$ entre $0$ y $1 - $ x (el resto de la parte de la palanca). Este es el segundo lado de longitud.
3. El tercer lado de longitud es de $1 - x - y$.
4. Prueba si los tres lados de longitudes de satisfacer la desigualdad de triángulo (en los tres permutaciones).

Corrió alrededor de $1000 de$ ensayos y estaba recibiendo $0.19$, lo que dijo fue, probablemente, sólo al azar de la probabilidad de error de $0.25$, pero cada vez que el programa se ejecuta, no importa que la calculadora que hemos utilizado, el resultado fue de alrededor de $0.19$.

Lo que está mal con el método de simulación? ¿Cuál es la respuesta teórica al problema de la realidad simulada?

(^* el otro día fue de más de $10$ de años)

Answer 1

Los tres triángulo de las desigualdades son

\begin{align} x + y &> 1-x-y \\ x + (1-x-y) &> y \\ y + (1-x-y) &> x \\ \end{align}

El problema es que en la selección el menor número primero de una distribución uniforme, va a terminar siendo más grande de lo que haría en caso de que acababa de recoger dos números al azar y se toma el menor. (Usted terminará para arriba con un valor promedio de $1/2$ para los más pequeños en lugar de $1/3$ como usted realmente desea.) Ahora, cuando usted escoge $y$ en $[0, 1-x]$, usted es menor de lo que debería ser (terminando con un valor promedio de $1/4$). Para entender esta desigual distribución, se puede sustituir $y (1-x)$ para $y$ en el original de las desigualdades y veremos la adecuada distribución.

(Tenga en cuenta que el $y$el eje de la gráfica realmente no se van a partir de $0$ a $1$; en lugar de la parte superior representa la línea $y=1-x$. Yo estoy mostrando como un cuadrado porque las probabilidades de que fueron cálculo se iban generando.) Ahora la probabilidad de que se está midiendo es el área de la extraña forma de la región a la izquierda, que es

$$ \int_0^{1/2} \frac{1}{2-2x} - \frac{2x-1}{2x-2} \,dx = \ln(2) - 1/2 \aprox 0.19314 . $$

Creo que esa es la respuesta que ha calculado.

Answer 2

FYI: Esta pregunta fue incluida en un Martin Gardner 'Juegos Matemáticos" el artículo de Scientific American hace algunos años. Él mostró que había 2 formas al azar la elección de la 2 'break puntos:

1. elegir al azar dos números de 0 a 1, o
2. elegir un número al azar, romper el palo en ese punto, a continuación, elija una de las dos acortado palos al azar, y romperse en un punto al azar.

Los dos métodos dan diferentes respuestas.