Corolario impar en Baby Rudin Capítulo 2, Pregunta 28

Question

He terminado todas las preguntas del capítulo 2 de Principios de Análisis Matemático de Walter Rudin (auto-estudio), pero tengo una pregunta sobre el Q.28, que dice:

Demuestra que cada conjunto cerrado en un espacio métrico separable es la unión de un conjunto perfecto (posiblemente vacío) y un conjunto que es, como mucho, contabilizable. (Corolario: Cada conjunto cerrado contable en $ \mathbb {R}^k$ tiene puntos aislados.)

Es fácil responder a la pregunta, dado lo que se demuestra en el Q.27, pero el corolario es un poco extraño. Me parece que es sólo una consecuencia inmediata del hecho de que los conjuntos perfectos no vacíos en $ \mathbb {R}^k$ son incontables, lo que se demuestra en el texto principal. No veo qué tiene que ver con lo que se demuestra en esta pregunta.

Dado lo meticuloso que es el libro, sospecho que el aparente no secuenciador significa que me estoy perdiendo algo.

Answer 1

Un punto aislado por definición es un punto que pertenece al conjunto que no es un punto límite. Supongamos que el conjunto contable cerrado no tiene puntos aislados, entonces CADA punto de él es un punto límite. Por lo tanto, el conjunto es perfecto. Pero un conjunto perfecto no vacío en $ \mathbb {R}^n$ es incontable. Contradicción.

El espacio separable aquí es $ \mathbb {R}^n$ . El corolario es definitivamente el sequitur.