Confusión acerca de la integración de contorno de la función constante: intuición vs. Teorema del residuo

Question

Supongamos que tenemos la función de holomorphic $$f(z) = 1.$$ Debido a $f(z)$ no tiene polos, según el Teorema de los Residuos que hemos $$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$$ para cualquier cerrada hacia la izquierda camino de $\gamma$.

Pero digamos que $\gamma$ es un círculo en torno al origen de la radio de $r$. Entonces no deberíamos tener $$\oint_\gamma f(z)\,dz = 2 \pi r$$ porque $$\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma dz = \text{arclength}\,\gamma$$ ?

Estoy bastante seguro de que el resultado utilizando el Teorema de los Residuos es correcta, entonces mi razonamiento debe ser incorrecto para la segunda manera de ver las cosas.

Dónde está mi razonamiento incorrecto?

Answer 1

No, porque $dz$ no representa arclength - por el contrario, $|dz|$ no. Así que lo correcto sería

$$\oint_{\gamma} dz = 0, \quad\quad \oint_{\gamma} |dz| = 2\pi r$$

Recuerde, que usted siempre puede volver a la suma de Riemann; al definir la integral $dz$, es sumar las cosas que parecen $\Delta z$. Si usted se mueve en una trayectoria circular, no viaje en cualquier lugar - por lo tanto, la suma de $\Delta z$ es cero.

Answer 2

Si $f$ es la función constante $1$, la integral $$\int_\gamma f(z)\,dz$ $ no te da la longitud del arco $\gamma$. Eso sería $$\int_\gamma f(z)\,d|z|,$ $ $d|z|$ Dónde está la integración con respecto a la longitud de arco.