El término analítica permite que a menudo la función de varios valores (es decir, una función de la ruta de continuación analítica). Si este es el significado de la analítica en su post, la respuesta es: "$f$ es analítica en todos los puntos excepto impares múltiplos de $\pi i$, y su derivada está dada por la fórmula que encontró, en la rama de la raíz cuadrada es el mismo que el usado para $f$."
Si usted insiste en un solo valor de la función (lo que yo llamaría holomorphic, para eliminar la ambigüedad de la anterior), entonces uno necesita algunos cortes de ramas. No hay un único "canónica" elección de cortes de ramas. Uno sólo tiene que cortar cada camino cerrado para que la suma de la liquidación números impares múltiplos de $\pi$ es un número impar.
Una forma de hacerlo es eliminar los segmentos de recta de longitud $2\pi$ conexión de dos múltiplos consecutivos de la forma anterior. Es decir, que
$$\Omega = \mathbb C\setminus \bigcup_{n\in\mathbb Z} [(4n-1)\pi i, (4n+1)\pi i]$$
donde la notación $[a,b]$ significa que el segmento de la línea de $a$ $b$en el plano complejo. Los cortes asegurar que cada curva cerrada en $\Omega$ que serpentea alrededor de una extraña múltiples de $\pi i$ también los vientos alrededor de otro, con el mismo índice. Como resultado, $e^z+1$ viaja una cantidad de tiempo en torno al origen, lo que hace que su raíz cuadrada de un solo valor.
Otra opción, quizás más simple, es cortar el plano horizontal a lo largo de la mitad de las líneas a partir de cada impar, múltiplo de $\pi i$. El resto de dominio es simplemente conectado, por lo que el monodromy teorema se aplica.
