Una matriz no negativa tiene un inverso no negativo. ¿Qué otras propiedades tiene?

Question

Esta es la tarea para mi clase de optimización matemática. Aquí está la pregunta exacta:

Matriz no negativa e inversa. Supongamos que una matriz $A \in\Bbb R^{n \times n}$ y su inverso $B$ tienen todos sus elementos no negativos, es decir, $A_{ij} \geq 0$ , $B_{ij} \geq 0$ para $i,j = 1, \dots ,n$ . Lo que puede decir debe ser cierto de $A$ y $B$ ? Por favor, dé su respuesta primero, y luego la justificación. Su solución (que incluye lo que puede decir sobre $A$ y $B$ también como su justificación) debe ser breve.

No tengo ni idea de lo que están buscando; hasta ahora, sólo tengo los hechos básicos derivados del hecho de que existe un inverso (es cuadrado, el determinante es distinto de cero, etc.). ¿Qué puedo deducir de la propiedad "no negativa"?

Answer 1

Supongamos que tienes una matriz no negativa $A$ con un inverso no negativo $B$ .

Dado que las entradas no son negativas, si el $k$ la entrada de la fila $i$ es diferente de cero, es decir. $A_{ik} \neq 0$ entonces debemos tener $B_{kj} = 0$ para todos $j$ excepto $j = i$ . De lo contrario, tendríamos $$I_{ij} = 0 = \sum_ { \ell = 1}^n A_{i \ell }B_{ \ell j} \ge A_{ik}B_{kj} > 0$$

Dado que no podemos tener una fila cero en una matriz invertible, este giro implica que $B_{ki} \neq 0$ . La aplicación de un argumento simétrico ahora sugiere $A_{ij} = 0$ para todos $j$ excepto $j=k$ . Por lo tanto, cada fila de la matriz tiene precisamente una entrada distinta de cero. De ello se deduce que la matriz es la permutación de una matriz diagonal positiva, es decir, existe una matriz diagonal $D > 0$ y la matriz de permutación $P$ de tal manera que $$A = PD$$ Tales matrices, si están interesados, se llaman matrices monomiales . Puede comprobar fácilmente que la condición anterior es de hecho necesaria y suficiente:

Teorema : Deje que $A$ ser una matriz no negativa. Entonces $A$ tiene un inverso no negativo si y sólo si $A$ es una matriz de monómero positivo (por monómero positivo me refiero a que las entradas que no son cero son positivas).