Ecuaciones de Kerr geodésicas en el plano ecuatorial

Question

Con un amigo, estamos escribiendo un educativo interactivo de simulación de partículas que caen en un agujero negro.

En la actualidad utilizamos Schwarzschild geodesics. Sin embargo, queremos generalizar para el caso de rotación (y tal vez de la rotación y del acusado) agujero negro. Estamos interesados principalmente en el plano ecuatorial, como entonces podemos trazar en un 2D de la tableta.

Así que, ¿qué son las ecuaciones diferenciales para una partícula (con iniciales de posición y velocidad), la caída en la Kerr (o de Kerr-Newman) métricas en el plano ecuatorial?

Estoy interesado en una forma explícita (plug & play - debe trabajar después de la inserción del agujero negro de los parámetros (es decir,$M, L, Q$) y la inicial contitions (es decir,$\vec{x}, \vec{v}, q$); $Q$ y $q$ son opcionales, como la métrica de Kerr es agradable por sí mismo).

Notas:

Sí, sé que el procedimiento general. Sólo estoy corto de tiempo (así que ahora estoy incluso ya no codificantes). Así que puede auto-respuesta, sino más bien tarde que pronto.

Es casi en el Capítulo 20 de algo: Geodésica de movimiento en el espacio-tiempo de Kerr (es decir, (20.25) y (20.31) para las ecuaciones de movimiento; (20.18) y (20.19) para la energía y del momento angular). Sin embargo, algunos parámetros no se presentó (tal vez hay en los capítulos anteriores...).

Answer 1

Voy a seguir la Gravitación por Misner, Thorne y Wheeler (en adelante MTW), que es el estándar de referencia de libros de texto enciclopédico tomo para el campo a pesar de su edad.

Deje $\lambda$ parametrizar el camino tal que la derivada con respecto a él le da la 4-momentum. El uso de Boyer-Lindquist coordenadas, MTW Cuadro de 33.5 da $$ \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 = \frac{1}{r^4} \left(\alpha E^2 - 2\beta E + \gamma_0\right), $$ donde $$ E = \frac{1}{\alpha} \left(\beta + \sqrt{\beta^2 - \alpha\gamma_0 + \alpha r^4(p^r)^2}\right) $$ es una constante del movimiento (energía en el infinito) y tenemos $$ \alpha = \left(r^2 + a^2\right)^2 - \Delta^2 \\ \beta = \left(L_z un + qQr\right) \left(r^2 + a^2\right) - L_z un\Delta \\ \gamma_0 = \left(L_z un + qQr\right)^2 - \Delta L_z^2 m^2r^2\Delta \\ \Delta = r^2 - 2Mr + a^2 + Q^2. $$ Aquí $m$ es la prueba de partículas del resto de la masa y $L_z$ es su (conservada) el momento angular en el infinito. $a = L/M$ es de los agujeros negros del momento angular por unidad de masa. ($L$ no relacionados con la $L_z$ - lo siento.)

Para el movimiento azimutal, me dirijo a MTW Eq. 33.32 c, de la cual los estados (después de la configuración de $\theta = \pi/2$) $$ \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\lambda} = -\frac{1}{r^2} \left(\frac{aP}{\Delta} - aE + L_z\right). $$ Aquí se definen las $$ P = E \left(r^2 + a^2\right) - L_z a - qQr. $$

El paso final es encontrar la relación entre el tiempo de la $t$ (de los Boyer-Lindquist variedad, lo que significa que no es una locura) y $\lambda$. MTW Eq. 33.32 d nos dice (de nuevo después de la configuración de $\theta = \pi/2$) $$ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda} = \frac{1}{r^2} \left(\frac{P}{\Delta} \left(r^2 + a^2\right) - a^2E + aL_z\right). $$

Espero que esto ayude. Recuerdo de codificación algo similar (bueno, el taponamiento de las Odas en Mathematica) érase una vez. Parecía que funcionan razonablemente bien, sin necesidad de recurrir a la fantasía de técnicas numéricas para garantizar la estabilidad... al menos por un par de órbitas, después de lo cual yo no sabía qué se suponía que debía estar haciendo.