¿En qué se equivocó Johann Bernoulli en su demostración de $\ln z=\ln (-z)$ ?

Question

Algunos dicen que Johann Bernoulli ha demostrado $\ln z=\ln (-z)$ de la siguiente manera $$\ln ((-z)^2 )=\ln(z^2)\;\;\;\Rightarrow\;\;\;2\ln(-z)=2\ln z\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\ln (-z)=\ln z$$ Aunque la afirmación no es cierta, no soy capaz de averiguar qué es lo que ha fallado exactamente:

• Desde $(-z)^2=z^2$ para todos $z\in\mathbb{C}$ , se mantiene $\ln ((-z)^2 )=\ln(z^2)$ También.
• Por definición de $a^b=e^{b\ln a}$ para todos $a\in\mathbb{C}^{-},b\in\mathbb{C}$ lo siguiente $\ln (e^{2\ln z})=\ln (e^{2\ln (-z)})$ para todos $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$
• Además, para $z=re^{i\varphi}$ tenemos $$\ln (e^{2\ln z})=\ln (r^2)+i\pi +i\text{arg}_0(e^{i(2\varphi -\pi)})=2\ln r+2i\varphi$$ y $$\ln z=\ln r+i\varphi$$ Por lo tanto, parece que $2 \ln z=\ln (z^2)$ también es válida (al menos para todos los $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ ).

Entonces, ¿qué es lo que falla aquí?

PS: Definamos $$\mathbb{C}^{-}:=\left\{z\in\mathbb{C} : \text{Re }z>0\vee \text{Im}\ne 0\right\}$$

Answer 1

Veamos en qué se equivocan las cosas. Voy a suponer que mi logaritmo tiene una rama cortada a lo largo del negativo $x$ -como de costumbre (y que estamos viendo el argumento principal donde $\theta$ está entre $-\pi$ y $\pi$ por simetría). Si $z = re^{i\theta}$

$$\log(z) \stackrel{\text{def}}{=} \log r+i\theta.$$

Con una rama cortada, $-z$ es un poco ambiguo. Si $\theta < 0$ entonces $-z = re^{i\theta+i\pi}$ . Si $\theta > 0$ entonces $-z = re^{i\theta-i\pi}$ . Consideremos cada caso por separado.

Caso 1: $\theta < 0$ entonces

$$\log(-z) = \log(re^{i\theta+i\pi}) = \log r + i(\theta+\pi).$$

Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que $\log(z)$ .

Caso 2: $\theta > 0$ entonces

$$\log(-z) = \log(re^{i\theta-i\pi}) = \log r + i(\theta-\pi).$$

Del mismo modo, esto no es lo mismo que $\log(z)$ .

La pregunta entonces es: ¿dónde está la suposición defectuosa en su prueba?

Claramente $(-z)^2 = z^2$ es cierto pero los logaritmos complejos ya no obedecen $\log(ab) = \log(a)+\log(b)$ de la forma habitual. Si $a = r_1e^{i\theta_1}$ y $b = r_2e^{i\theta_2}$ (digamos que ninguno de ellos es puramente imaginario), entonces $\log(ab) = \log(r_1r_2 e^{i\theta_1+i\theta_2})$ . Lo que esto evalúa depende en gran medida de lo que $\theta_1$ y $\theta_2$ son.

Supongamos que $-\pi < \theta_1+\theta_2 < \pi$ Entonces, en efecto $\log(ab) = \log(r_1r_2)+i(\theta_1+\theta_2)$ que coincide exactamente con $\log(a)+\log(b)$ .

Sin embargo, supongamos que $\theta_1+\theta_2>\pi$ entonces, de forma similar a lo anterior, tendríamos que $\log(ab) = \log(r_1r_2)+i(\theta_1+\theta_2-2\pi) \neq \log(a)+\log(b)$ .

Si en cambio $\theta_1+\theta_2 < -\pi$ entonces $\log(ab) = \log(r_1r_2)+i(\theta_1+\theta_2+2\pi) \neq \log(a)+\log(b)$ .

Si se limita al caso de que $a = b = -z$ En el análisis anterior se diría que $\log((-z)^2) = 2\log(-z)$ si (y sólo si) $\theta < \left|\frac{\pi}{2}\right|$ como menciona Did a continuación. Así que realmente la discrepancia se debe a la naturaleza periódica de $e^{i\theta}$ (y de ahí la naturaleza multivalente de $\log$ ).

Answer 2

Por supuesto, la identidad $\mathrm{Log}(z^2)=2\ln(r)+2\mathrm i\varphi$ cuando $z=r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}$ sólo es válida cuando $-\frac\pi2\lt\varphi\leqslant\frac\pi2$ aunque la identidad $\mathrm{Log}(z)=\ln(r)+\mathrm i\varphi$ es válida para cada $-\pi\lt\varphi\leqslant\pi$ (recordemos que por definición el valor principal $\mathrm{Log}(z)$ es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo $(−π,π]$ ).

Para practicar un poco, elija $z=-1+\mathrm i\sqrt3$ , computa $r$ , $\varphi$ , $\ln(r)$ , $\mathrm{Log}(z)$ y $\mathrm{Log}(z^2)$ y comparar.

Answer 3

El punto clave es que $z^2=y^2 \implies z=y$ es falso para $z,y \in \mathbb C$ al igual que para $z,y \in \mathbb R$

que luego cae en el clásico tomar la raíz cuadrada de ambos lados sin ajustar los signos cuando sea necesario

Answer 4

Empecemos por su primera pantalla: $$ \log((-z)^2 )=\log(z^2) \implies 2\log(-z)=2\log z\implies \log (-z)=\log z $$ (Me parece anacrónico el uso de "ln", que de todas formas me parece horrible).

El "error" está en la primera implicación, que requiere, suponiendo $z>0$ que

1. el logaritmo existe para los números negativos;

2. satisface la misma propiedad para los exponentes que el logaritmo para los números positivos.

En realidad, no hay ningún error: El argumento de Bernoulli no es más que la motivación de una definición. Después de haber definido el logaritmo para los números positivos, Bernoulli quiere ampliarlo estableciendo $\log z=\log(-z)$ para $z<0$ o, en otras palabras, $$ \log z=\log|z|\qquad(z\ne0). $$

¿Se mantienen las propiedades comunes? Sí, porque $|xy|=|x|\,|y|$ Así que también $|z^n|=|z|^n$ (al menos cuando $n$ es un número entero).

Esto no es, en cierto modo, diferente de la extensión de la función Gamma a los números negativos utilizando la propiedad de que $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$ para $t>0$ que se puede demostrar a partir de la definición $$ \Gamma(t)=\int_0^{\infty}x^{t-1}e^{-x}\,dx $$ (para $t>0$ ). Así podemos definir, para $-1<t<0$ , $$ \Gamma(t)=\frac{\Gamma(t+1)}{t} $$ y retroceder, utilizando esta definición para obtener $\Gamma(t)$ cuando $-2<t<-1$ y así sucesivamente.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos casos? Que el $\Gamma$ se puede demostrar que es extensible a todo el plano complejo (excepto en los enteros no positivos): $$ \Gamma(t)= \frac{e^{-\gamma t}}{t}\prod_{n\ge1}\left(1+\frac{t}{n}\right)^{-1}e^{t/n} $$ (donde $\gamma$ es el número de Euler-Mascheroni).

La extensión de Bernoulli del logaritmo a los números negativos, en cambio, ya no tiene relación con la función exponencial. Es sólo una extensión posible, pero resulta inútil. Las razones de su inutilidad se han dado en otras respuestas.