Dar un ejemplo de un Grupo abeliano todos de cuyos correcta subgrupos son cíclicos.

Question

Lo he intentado pero no he podido encontrar un Grupo abeliano todos de cuyos correcta subgrupos son cíclicos. Por favor, ayúdame.

Answer 1

El ejemplo posible más simple de esto sería $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, ya que es abeliano y es el grupo más pequeño que no es cíclico. Es también conocido como el cuatro-grupo de Klein.

Answer 2

El primer ejemplo que vino a la mente, probablemente porque he pasado mucho tiempo con él últimamente, es $\mathbb{Z}(p^{\infty})$, que es naturalmente isomorfo al grupo de todas las raíces de $p^n$-th de la unidad, $n=0,1,2, \ldots$. Lo que me ha gustado siempre este grupo es que todos los subgrupos apropiados finito como cíclico, mientras que el grupo sí mismo es infinito y no-cíclico. Claramente, los otros ejemplos son mucho más simples. Que esto sea una lección para la OP: aprender bastante matemática y fácilmente puede pasar por alto ejemplos sencillos.

Answer 3

De manera más general, cualquier finitely generado no cíclicos abelian grupo cuyos subgrupos cíclicos que tiene la forma de $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ donde $p$ es primo.

De hecho, cada finitely generado grupo abelian $G$ tiene la forma $\mathbb{Z}_{n_1}\times ... \times \mathbb{Z}_{n_r} \times \mathbb{Z}^n$$n_1 \ | \ n_2 \ | \ ... \ | \ n_r$$n_1>1$.

Caso 1: $n=0$. $G$ tiene que ser así que no cíclicos $r\geq 2$. Hay existe un primer $p$ dividiendo cada una de las $n_i$ y, o bien $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ es un adecuado no cíclicos subgrupo de $G$ o $G= \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$.

Caso 2: $n,r \neq 0$. $\mathbb{Z}_{n_1} \times ... \times \mathbb{Z}_{n_r} \times m \mathbb{Z}$ es un adecuado no cíclicos subgrupo de $G$.

Caso 3: $r=0$ y $n \neq 0$. $G$ tiene que ser así que no cíclicos $n\geq 2$. Por lo $\mathbb{Z} \times m \mathbb{Z}$ es un adecuado no cíclicos subgrupo de $G$.

Answer 4

En general, hay una manera de enfocar las preguntas de la forma "encontrar un no-cíclico de gp. (o ab. gp.) todos de cuya adecuada subgrupos cíclicos", "encontrar un no-ab. gp. todos de cuya adecuada sgs. son abelian", etc., a saber:

Busque el grupo más pequeño que no es cíclico/no abelian/lo que sea.

¿Por qué funciona esto?

Bueno, si $G$ es no-cíclico, pero cualquier pequeño grupo cíclico, entonces cualquier subgrupo de $G$ será cíclico. Desde cualquier grupo de orden $< 4$ debe ser cíclico, vemos que el Klein $4$-grupo (que en sí es no-cíclico) satisface la condición.

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Para comprobar que usted lo entienda, utilice este método para encontrar un no-grupo abelian todos de cuya adecuada subgrupos son abelian.

Answer 5

Tomemos un grupo $\{1,3,5,7\}$ con la operación binaria en $G$ como multiplicación su modulu es $8$. Si Dibujamos un cuadro de calas que llegamos a saber que es abeliano pero los elementos de los grupos no parecen pertenecer a un grupo cíclico.