¿Tenemos que usar polinomios de Bernoulli en la fórmula de Euler-Maclaurin suma?

Question

Puede ser que no he recogido la prueba, pero no puedo ver donde la tercera condición de los polinomios de Bernoulli, a continuación, se utiliza en la derivación de Euler-Maclaurin suma fórmula.

Los polinomios de Bernoulli se define inductivamente por $$ b_0(x) = 1, $$ $$ b_n'(x) = nb_{n-1}(x) \:\text{ y }\: \int_0^1 b_n(x) = 0 \:\text{ para } \ n: n \geq 1. $$

Supongamos que en vez que hemos definido la alternativa de Bernoulli polinomios de la siguiente manera, $$ a_0(x) = 1, $$ $$ a_n'(x) = na_{n-1}(x) \:\text{ y }\: a_n(0) = 0 \:\text{ para } \ n: n \geq 1. $$ de modo que la nueva tercera condición esencialmente da $a_n(x) = x^n$ todos los $n$, lo que simplifica la materia. A continuación, el periódico de Bernoulli funciones que se usan en la prueba iba a ser $A_n(x) = a_n(\{x\})$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$.

El uso de estas funciones, puede que alguien me muestre donde la prueba de Euler-Maclaurin se rompe? (Suponemos que el uso de la primaria de la prueba por inducción que se explica en detalle en la Wikipedia, por ejemplo).

Answer 1

El problema es que sus funciones no tienen $a_n(0)=a_n(1)$ $n>1$. La prueba que relaciona utiliza el hecho de que $B_1(0)=-B_1(1)$ y que $B_n(0)=B_n(1)$ $n>1$; por esta razón la suma de los valores de la función aparece en la integración por partes para $n=1$ pero sólo términos de límite aparecen en las más integraciones por partes $n>1$.