¿Cuál es el valor de esto?

Question

Sé que %#% $ #%

así que tomando el logaritmo natural en ambos lados

$$e^{2 \pi i} = 1$$

sin embargo, ¿por qué no esta $$\ln \left(e^{2 \pi i}\right)=\ln (1)=0$ como se esperaba? ¿Es porque los logaritmos sólo pueden proporcionar valores reales?

Answer 1

El problema es que en el conjunto de los números, la función exponencial no es uno-a-uno, ya que la $\exp(z + 2\pi i) = \exp z$. Por lo tanto ya no es posible definir una adecuada inversa: si todo lo que dicen acerca de un número es su exponencial, no sé cuántos múltiplos de $2\pi i$ he añadido.

Hay un par de posibles soluciones a esto. Una es considerar el logaritmo como un multi-función con valores, o más correctamente, una relación, por lo que el $\log 1 "=" 2\pi i k$ para cada entero $k$. Esto a veces es conveniente, por ejemplo, a la hora de resolver ecuaciones.

Otro es el de definir el logaritmo pero un logaritmo, que es escoger una elección arbitraria de parte imaginaria para obtener una bien definida la función que se puede utilizar. Usted puede, por ejemplo, declarar que usted está interesado sólo en el valor de la parte imaginaria entre el $-\pi$ $\pi$ (digamos exclusiva en el límite inferior e inclusivos en la parte superior) o $0$$2\pi$, o cualquier cosa que te guste. Tristemente, esto obliga a que el logaritmo de la función discontinua, pero si una rodaja de salida de línea del plano complejo de $0$ abajo de la negativa de reales, al menos puede hacer el logaritmo continuo en todas partes, excepto en esa línea, tendrás algo como la parte imaginaria $-\pi$ en un lado de la línea y la parte imaginaria $\pi$ en el otro lado. Esto se llama una "rama de corte" y usted está eligiendo una "rama" del logaritmo.

Answer 2

$$e^x=e^{2n\pi ix}\forall n\in\mathbb{Z}$ $ Para ver por qué, utilizar fórmula de Euler: $e^{\pi i}=-1\implies e^{2n\pi i}=1\forall n\in\mathbb{Z}$. So, $e^{2\pi i}=e^{0}=1$. Ahora, para que una función tiene una inversa, debe ser inyectiva, no es que $e^x$ (por la razón anterior). Para resolver esto, puede ver el logaritmo natural como una función cuyo dominio es una superficie de Riemann que cubre el $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. O, puede restringir el dominio de $e^x$ a una región que no contiene $x,y$ tal que $y-x=2n\pi i,\forall n\in\mathbb{Z}$. Esto hace que el 'problema' mencionados anteriormente.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$e^{2\pi i}=e^{2\pi k i}$$

Por lo que se

$$\ln (e^{2\pi i})=2\pi k i,\quad k\in\mathbb{Z}$$

con el principal valor de $k=0$.