¿Por qué es$\int_{-\pi }^{\pi }(\sin nx)^2dx=\int_{-\pi}^{\pi}(\cos nx)^2dx=\pi$?

Question

¿Por qué es $$ \int\limits_{-\pi }^{\pi }\sin^2 (nx)\;\mathrm{d}x = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2 (nx)\;\mathrm{d}x =\pi \;\;? $$

Tratando de entender una prueba sobre Fourer de la Serie. Y en mi mathbook no explican cómo resolver este intergral. Pueden ustedes explicar?

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $\cos2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A$

express $(\sin nx)^2,(\cos nx)^2$ en términos de $\cos(2nx)$

Ahora $\int\cos(mx)dx=\dfrac{\sin mx}m+K$

también se $\sin(r\pi)=0$ para cualquier entero $r$

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\sin^2(nx)=\frac 12 -\frac 12 \cos(2nx)\\\\ $$

y

$$\cos^2(nx)=\frac12 +\frac12 \cos(2nx)$$

Además, para $n\ge 1$,

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx=0$$

Así, vemos de inmediato que

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)\,dx=\pi$$

Answer 3

Primera nota de que $\sin^2(nx) + \cos^2(nx) = 1$ todos los $x$. Por lo tanto $$\int_{-\pi}^\pi (\sin^2(nx) + \cos^2(nx)) dx = 2\pi.$$

Ahora queremos mostrar que cada integrante aportado la misma cantidad para este. En el momento en que sabemos que la media de las dos integrales es $\pi$.

Es importante recordar que el $\cos$ $\sin$ son simplemente cambió de copias de uno a otro. Por otra parte, el período de $\sin(nx)$ es el mismo que el de $\cos(nx)$, y el periodo es de $2\pi/n$. Desde $n$ es un número entero, cada una de las $\sin^2(nx)$ $\cos^2(nx)$ ir a través de $n$ períodos completos para $\sin(nx)$ $\cos(nx)$ sobre el intervalo de $[-\pi,\pi]$. Así, $$\int_{-\pi}^\pi \sin^2(nx) dx = \int_{-\pi}^\pi \cos^2(nx) dx$$ and they are both equal to $\pi$ por esta primera ecuación.

Answer 4

$\sin^2(nx) = 1 - \cos^2(nx)$, por lo que usted puede pensar de $\sin^2(nx)$ $\cos^2(nx)$ "al revés" imágenes de cada uno de los otros. Debido a $\cos^2(nx)$ es un cambio de fase de $\sin^2(nx)$, los "dientes" de las dos curvas de enclavamiento al $\cos^2(nx)$ es la foto al revés (esto es muy flojo, pero he visto muchos más explicaciones técnicas por ahora). Durante el intervalo de $-\pi$ $\pi$ambos $\cos^2(nx)$ $\sin^2(nx)$ va por el mismo número de ciclos. Así que cada uno debe tomar la mitad de la $2\pi$ $1$ rectángulo, que tiene área de $2\pi$. Para cada curva que encierra un área de $\pi$.