Algunos pueden explicar claramente acerca de lim sup y lim inf?

Question

Algunos pueden explicar el lim sup y lim inf? En mi libro de texto de la definición de estos dos es este.

Vamos $(s_n)$ ser una secuencia en $R$. Definimos $$\lim \sup\ s_n = \lim_{N \rightarrow \infty} \sup\{s_n:n>N\}$$ y $$\lim\inf\ s_n = \lim_{N\rightarrow \infty}\inf\{s_n:n>N\}$$

El lado derecho de estos dos géneros, puede creo que $\sup\{s_n:n>N\}$ y $\inf\{s_n:n>N\}$ como una secuencia después de $n>N$? Y cómo estos dos se comportan como $n$ aumenta? Mi profesor dijo que estos dos se hacen más pequeños como $n$ aumenta.

Answer 1

Considere este ejemplo: $$3-\frac12,\quad 5+\frac13,\quad de 3\frac14,\quad 5+\frac15,\quad de 3\frac16,\quad 5+\frac17,\quad de 3\frac18,\quad 5+\frac19,\quad\ldots\ldots$$ Alterna entre algo que se aproxima a los $3$ desde abajo y algo acerca a $5$ de arriba. El lim inf es de $3 dólares y el lim sup es de$5 dólares.

El inf de la secuencia completa es de $3\frac12$.

Si usted desecha el primer término o los dos primeros términos, la inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac14$.

Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac16$.

Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac18$.

Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac1{10}$.

. . . y así sucesivamente. Puedes ver que estas infs son cada vez más grandes.

Si usted mira la secuencia de infs, su sup es de $3 dólares.

Así, el lim inf es el sup de la secuencia de infs de todos los de la cola en los extremos de la secuencia. En notación matemática, $$\begin{align} \liminf_{n\to\infty} a_n & = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf_{m=n,n+1,n+2,\ldots} a_m \\[12pt] & = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} \\[12pt] & = \sup\left\{ \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} : n=1,2,3,\ldots \right\} \\[12pt] & = \sup\left\{ \inf\{ a_m : m\ge n\} : n=1,2,3,\ldots \right\}. \end{align}$$

Así como el lim inf es un sup de infs, por lo que el lim sup e inf de sups.

También se puede decir que $L=\liminf\limits_{n\to\infty} a_n$ precisamente si para todo $\varepsilon>0$, no importa lo pequeño que sea, existe un índice $$ N tan grande que para todo $n\ge N$, $a_n>L-\varepsilon$, y $L$ es el número más grande para que este tiene.

Answer 2

Entiendo que $\limsup s_n$ y $\liminf s_n$ como el más grande y el más pequeño subsequential límites de $s_n$.

Answer 3

Pensar de esta manera. En el $\limsup$ , usted está tomando el mayor valor de pasado un cierto $N$. Como $N$ aumenta, hay "menos" valor de para elegir, por lo tanto $\limsup$ sólo puede disminuir (o se mantienen constantes).

Lo mismo se aplica con $\liminf$, excepto que usted consigue "menos valor" sólo puede aumentar (o mantener la misma) el valor de su $\liminf$.

Como un simple ejemplo, tomar una secuencia de $$s_n=(4,-4,3,-3,2,-2,1,-1,0,0,\ldots)$$ Revisión $N=1$, a continuación, el valor más grande en el pasado o en $N=1$ es $4$ y el más pequeño es de $-4$. Unos pasos más adelante, digamos $N=4$, el valor más grande en el pasado o en $N$ es de $2 dólares y el más pequeño es ahora de$-3$. Más lejos, a$N=10$tenemos$\sup_{n\ge 10}=\inf_{n\ge 10}=0$.

A partir de este que se ve que $\limsup$ disminuye y $\liminf$ aumenta.

Ejercicio: ¿Qué tiene que ocurrir para que la secuencia de converger?