Considere este ejemplo:
$$
3-\frac12,\quad 5+\frac13,\quad de 3\frac14,\quad 5+\frac15,\quad de 3\frac16,\quad 5+\frac17,\quad de 3\frac18,\quad 5+\frac19,\quad\ldots\ldots
$$
Alterna entre algo que se aproxima a los $3$ desde abajo y algo acerca a $5$ de arriba. El lim inf es de $3 dólares y el lim sup es de $5 dólares.
El inf de la secuencia completa es de $3\frac12$.
Si usted desecha el primer término o los dos primeros términos, la inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac14$.
Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac16$.
Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac18$.
Si usted desecha todos los términos hasta que uno y uno después, el inf de lo que está a la izquierda es de $3-\frac1{10}$.
. . . y así sucesivamente. Puedes ver que estas infs son cada vez más grandes.
Si usted mira la secuencia de infs, su sup es de $3 dólares.
Así, el lim inf es el sup de la secuencia de infs de todos los de la cola en los extremos de la secuencia. En notación matemática,
$$
\begin{align}
\liminf_{n\to\infty} a_n & = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf_{m=n,n+1,n+2,\ldots} a_m \\[12pt]
& = \sup_{n=1,2,3,\ldots} \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} \\[12pt]
& = \sup\left\{ \inf\left\{ a_n, a_{n+1}, a_{n+2}, a_{n+3},\ldots \right\} : n=1,2,3,\ldots \right\} \\[12pt]
& = \sup\left\{ \inf\{ a_m : m\ge n\} : n=1,2,3,\ldots \right\}.
\end{align}
$$
Así como el lim inf es un sup de infs, por lo que el lim sup e inf de sups.
También se puede decir que $L=\liminf\limits_{n\to\infty} a_n$ precisamente si para todo $\varepsilon>0$, no importa lo pequeño que sea, existe un índice $$ N tan grande que para todo $n\ge N$, $a_n>L-\varepsilon$, y $L$ es el número más grande para que este tiene.
